Giro en el espacio

 Un giro en el espacio es un movimiento en el que se corresponden dos semirrectas Or y Or' de origen común O, y dos semiplanos en el plano 𝜋 que ambas determinan, limitadas por sus rectas respectivas, situados a un mismo lado de ellas.

Propiedades

1. En este movimiento, son dobles en el plano el punto O, y por consiguiente, la perpendicular ℓ por O a 𝜋. También es doble todo otro punto P de ℓ por el axioma de rigidez y la conservación del sentido.
2. La recta ℓ, que tiene dobles todos sus puntos, se llama eje de giro.
3. Todos los planos perpendiculares al eje son dobles.
4. Dos puntos homólogos A y A' están en una circunferencia situada en un plano perpendicular al eje y de centro en él. Dos puntos homólogos equidistan del eje. Este se halla, pues, en el plano de simetría de A y A'.
5. Por ser dobles todos los puntos del eje, resulta que todos los puntos del eje equidistan de cada par de planos homólogos; de donde el eje de giro está en el plano bisector del diedro definido por dos semiespacios homólogos.
6. Todos los giros en el espacio con un mismo eje forman un grupo.

Ecuaciones de giro

En el caso de ser el eje de giro el OZ, la ecuación es análoga a la del plano:

• x' = x·cos 𝛼 - y·sen 𝛼
• y' = x·sen 𝛼 + y·cos 𝛼
• z' = z

La matriz que define el giro, A, es igual a: