Aplicaciones de la diferencial (2)

 Se sabe que los valores que hacen máximo o mínimo f(x) derivable deben buscarse entre las raíces de la ecuación f'(x) = 0 (aunque puede haber un entorno en un punto donde la función no sea derivable),

Esto equivale a anular la diferencial:

df = f'(x)·dx = 0

ya que como x es la variable independiente se tiene que:

dx ≠0

Sin embargo, en el caso de una aplicación de función de función y = f(u), u = 𝛗(x), las condiciones yᵤ = 0 y dy = 0 no son equivalentes, se obtienen todos los extremos anulando la diferencial. El empleo de la condición df = 0 permite elegir entre una variable cualquiera.

Ejemplo

En una elipse, hallar dos diámetros conjugados cuya suma de longitudes sea máxima o mínima:

Solución

Se toma como variable la longitud ℓ de uno de los diámetros. El otro es ℓ' es tal que;

ℓ²+ℓ'² = a² + b²
y la cantidad a estudiar es:
A = ℓ + √(a²+b²-ℓ²)
Realizando la diferencial:
dA = (1 - ℓ/√(a²+b²-ℓ²)dℓ = 0
Por lo que:
 (1 - ℓ/√(a²+b²-ℓ²) = 0 o dℓ = 0

Y en consecuencia:

√(a²+b²-ℓ²) = ℓ, ℓ²=ℓ'²= (a²+b²)/2

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