Ejercicio sobre diferenciación de funciones

 Algunos ejercicios sobre diferenciación de funciones:

Ejercicio 1

Sea g(x) una función definida y diferenciable para x ≤ x₀. ¿Cómo elegir los coeficientes a, b, c para que la función F(x), la cual es:

g(x) si x≤x₀
a(x-x₀)²+b(x-x₀)+c si x > x₀

sea diferenciable dos veces para x ∈ R?

Solución

  • Si x<x₀, d²F = d²g= g''(x)
  • Si x>x₀, d²F = 2a
F'(x₀) = lim (g(x) - g(x₀))/(x-x₀) = lim (a(x - x₀)² + b(x-x₀) + c -c)/(x-x₀) = g'(x₀)
             x→x₀⁺                                 x→x₀⁺

Como F(x) tiene que ser continua en x₀:

lim g(x) = lim a(x-x₀)² + b(x-x₀) + c
x→x₀        x→x₀

lim g(x) = c = g(x₀)
x→x₀

Al ser continua g(x).

Así pues, tenemos:
  • g(x₀) = c
  • g'(x₀) = b
En cuanto a la segunda derivada:

F''(x₀) = lim (g'(x) - g'(x₀))/(x - x₀) = lim  (2a(x-x₀) + b -b)/(x-x₀) = g''(x₀)
              x→x₀                                    x→x₀

Por tanto, g''(x₀) = 2a

Con lo cual, quedan fijadas las condiciones.

Ejercicio 2

Vamos a derivar y = Ln x, respecto de u = esenx

Solución

dy = (dx/x)·du = esenx·cosx dx

de donde:

y'ᵤ = dy/du = (1/x·cosx)·e-senx

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