Introducción a la diferenciación de funciones

 Si una función f es derivable en el punto a, podemos definir en dicho punto una aplicación de R en R de la forma que se sigue:

Fijado a, a cada valor h se le hace corresponder el valor f'(a)·h; esta función se expresa df: df(a, h) = f'(a)·h.

Cuando f es derivable en todo punto de un intervalo A ∈ R, entonces podemos definir igualmente:

df(x, h) = f'(x)·h

observa que df es una función de dos variables, que son x y h, y que mientras x ha de estar siempre en A, para h no hay limitación alguna.

Ordinariamente, se escribe simplemente df = f'(x) · h; ahora bien, cuando pongamos f(x) = x tendremos df = dx = 1·h, de aquí que generalmente se escriba df = f'(x)·dx.

Con el símbolo df o dy hemos designado el producto f'(x)·dx, siendo dx un incremento arbitrario de la variable dependiente x,

Hay una diferencial fundamental de significado entre los símbolos dx y dy. Mientras dx es arbitrario, dy depende de la función f(x), del valor de x y del valor de dx, y el símbolo dy carece de todo significado numérico si no se conocen estos tres datos.

Para evitar confusiones, muchos lo designan como dₓy, expresando cual es la variable independiente como f'(x) igual al valor del siguiente límite cuando el incremento de x tiende a 0:

lim Δf/Δx

o bien, y' = lim Δy/Δx (cuando Δx →0) = lim Δf/h (cuando h→0) = dy/dx = dₓy/dx. Se ve que la derivada es un verdadero cociente de dy/dx.