Estudio de la función exponencial (2)

 Ahora vamos a fijarnos en la función

f:x→(1/2)x

vista en una entrada anterior.

La base de esta función exponencial es el número real, positivo 1/2.

Si miramos la gráfica, ésta nos indica que la función es de tipo decreciente, es decir, que tomados 2 números reales x y x´, tales que x' > x, se cumple que (1/2)x´< (1/2)x:

x'>x ⇒(1/2)x´< (1/2)x: Decreciente

Por ejemplo, si comparamos x = 1, x = 0

1 > 0 ⇒ (1/2)1 < (1/2)0

El campo de existencia de la función es el intervalo (-∞,+∞), ya que la función está definida para todos los valores de x∈R. Esto quiere decir que cualquiera que sea el valor de las x, existirá siempre un valor de y, que cumple la función y = (1/2)x.

Al tomar x valores positivos cada vez mayores, la función y = (1/2)x irá decreciendo de forma indefinida, aproximándose a cero, aunque no se anulará, es decir, siempre se encontrará la gráfica por encima del eje de las x, nunca se cortará.



Al tomar x valores negativos cada vez menores, la función y = (1/2)x irá creciendo de forma indefinida. Por ejemplo:





Al tomar x el valor 0, la función y = (1/2)x tomará el valor 1 ((1/2)0 = 1).

Al tomar x el valor 1, la función y = (1/2)x tomará el valor de la base, es decir, 1/2.

Como ya se mencionó en la entrada anterior, en Matemáticas nos interesan los casos generales; así pues, tomando como punto de partida este caso concreto, vamos a generalizarla para el caso de la función exponencial y = ax, cuando 0 < a < 1.

La base de esta función es el número real a, positivo y menor que uno.
  • Es una función de tipo decreciente, es decir, tomando los números reales x y x´, tales que x´>x, se cumple que ax´< ax.
  • Su campo de existencia es el intervalo (-∞,+∞), ya que la función está definida para todos los valores de X∈R. Es decir, que cualquiera que sea el valor de las x, existe un valor y que cumple la función y = ax.
  • Al tomar valores positivos cada vez mayores, la función y = ax se irá aproximando a cero, aunque no se anulará. Por tanto, la gráfica de la función, aparece siempre dibujada por encima del eje de las x.
  • Al tomar valores negativos cada vez menores, la función y = ax irá creciendo de forma indefinida.
  • Al tomar x el valor de cero, la función y = ax tomará el valor de 1.
  • Al tomar x el valor de uno, la función y = ax tomará el valor de la base.

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