Estudio de la función logarítmica (1)

 Nos vamos a fijar en la función y = log₃(x) vista en anteriores entradas y en su representación gráfica.

La base de esta función logarítmica es el número real, positivo 3.

La gráfica nos indica que es una función de tipo creciente, es decir, que tomados 2 números reales x y x´, tales que x´> x, se cumple que log₃x´> log₃x.

Por ejemplo, si comparamos los valores 27 y 9:

27 > 9 ⇒ log₃27 > log₃9

El campo de existencia es el intervalo (0, ∞), ya que por la propia definición logarítmica los números negativos no poseen logaritmos.

Al tomar x valores "positivos" cada vez más grandes, la función y = log₃x irá creciendo también de forma indefinida.

Al tomar x valores positivos cada vez más cercanos a 0, la función y = log₃x irá tomando valores cada vez menores, tendiendo a -∞, aunque nunca cortará al eje de las "y".

Al tomar x el valor de uno, la función y = log₃x tomará el valor de cero.

Al tomar x el valor de la base la función y = log₃x tomará el valor de uno.

Todos estos datos nos dan el estudio completo de la función logarítmica:

y = log3x.

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Pero como ya se comentó, nos interesan los resultados generales, por ello, el caso concreto y = log₃x se va a generalizar para todo a > 1.

La base de esta función es el número real "a" positivo y mayor que uno.

• Es una función de tipo creciente, es decir, que tomando dos números reales x y x´, tales que x´> x, se cumple que log_ax´> logax.
• Su campo de existencia es el intervalo (0, ∞), ya que los números negativos no poseen logaritmos.
• Al tomar x valores positivos cada vez más grandes, la función y =log_ax irá creciendo también de forma indefinida.
• Al tomar x valores positivos cada vez más cercanos a 0, la función y = log_ax irá tomando valores cada vez menores, tendiendo a -∞, aunque nunca cortará la gráfica del eje de las "y".
• Al tomar x el valor de 1, la función tomará el valor de cero.
• Al tomar x el valor de la base, la función y = log_ax tomará el valor de uno.