Estudio de la función exponencial (1)

 Vamos a fijarnos en la función f:x→3^x de la entrada anterior y en su representación gráfica.

La base de esta función exponencial es el número real positivo 3.

La gráfica nos está indicando que está función es de tipo creciente, es decir, que tomados dos números reales x y x´, tales que x > x´, se cumple que 3^x > 3^x´.

Puedes verlo muy claro revisando las entradas relacionadas. Por ejemplo, si comparamos los valores 2 y 1 de la tabla de valores de esta función:

2 > 1 ⇒ 3² > 3¹

Su campo de existencia es el intervalo (-∞, +∞) ya que la función está definida para todos los valores de X∈R. Esto quiere decir que cualquiera que sea el valor de las x, existirá un valor y que cumple la función y = 3^x.

Al tomar x valores positivos cada vez mayores, la función y = 3^x irá creciendo también de forma indefinida. Por ejemplo:

Al tomar x valores negativos cada vez menores, la función y = 3^x se irá aproximando a 0, aunque no se anulará, es decir, siempre se encontrará por encima del eje de las "x", nunca cortará la gráfica. Por ejemplo:

Al tomar x el valor de cero, la función y = 3^x tomará el valor de 1 (3⁰ = 1).

Al tomar x el valor de 1, la función y = 3^x tomará el valor de la base (3¹ = 3).

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En Matemáticas nos interesan los casos generales, no los concretos; así pues, los resultados vistos anteriormente se generalizan en el caso de la función exponencial

 y = a^x para todo a > 1

• Es una función de tipo creciente, es decir, que tomando los números reales x y x´, tales que x > x´, se cumple que a^x > a^x´:
• Su campo de existencia es el intervalo (-∞, +∞), ya que la función está definida para todos los valores de X∈ R. Es decir, que cualquiera que sea el valor de las x, existe un valor de y, que cumple la función y = a^x.
• Al tomar x valores positivos cada vez más grandes, la función y = a^x irá creciendo también de forma indefinida.
• Al tomar x valores negativos cada vez menores, la función y =a^x se irá aproximando a cero, aunque no se anulará. Por tanto, la gráfica aparece siempre dibujada por encima del eje de las x.
• Al tomar x el valor de cero, la función y = a^x tomará el valor de uno.
• Al tomar x el valor de uno, la función y = a^x tomará el valor de a.