Unicidad del límite

 Vamos a demostrar en esta entrada la unicidad del límite.

Si suponemos una función f(x) con dos límites distintos en el mismo punto x₀: L y L'.

Fijado 𝜖>0, existirán dos números reales ẟ' y ẟ'' tales que:

  • |x - x₀| < ẟ', x ∈ A, x ≠ x₀ ⇒|f(x) - L| < 𝜖
  • |x - x₀| < ẟ'', x ∈ A, x ≠ x₀ ⇒|f(x) - L'| < 𝜖
Sea ẟ = min(ẟ', ẟ''), se ve que para los puntos tales que |x - x₀| ≤ ẟ y x ≠ x₀ se verifican las dos implicaciones y como tenemos:

|L - L'| = |L - f(x) + f(x) -L'| ≤ |L - f(x)| + |F(x) - L'| < 2𝜖

De aquí se deduce que L = L' = 0, o sea L = L', ya que la desigualdad |L - L'| < 2𝜖 se cumple ∀𝜖>0 y se puede escribir -2𝜖<L - L'<2𝜖. La única forma de conciliar esto es que |L - L'| = 0, con lo que queda demostrada la unicidad del límite.

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