Límite de una función en un punto

 Sea x₀ un punto de acumulación del conjunto A. Diremos que la función f tiene en el punto x₀ límite L R y escribiremos:

L = lim f(x), cuando x tiende a x₀, si

∀𝜖＞0 ∃ẟ＞0 / ∀x ∈ A tal que 0<|x - a|<ẟ, se tiene 0<|f(x) - L < 𝜖

Recuerda que a ∉ A.

Límites infinitos

Diremos que la función f(x) tiene por límite +∞ en x₀ punto de acumulación de A, si ∀k, real y positivo, tan grande como queramos se puede determinar un número ẟ > 0, de modo que se cumpla que si 0<|x - x₀|<ẟ, entonces |f(x)|>k. Y escribiremos, cuando x tiende a x₀

lim f(x) = +∞

Diremos que la función tiene por límite -∞ en el punto x₀ de acumulación de A si ∀k real mayor que cero existe ẟ>0 de modo que si 0<|x - x₀|<ẟ implica que f(x) < - k, y se escribe, cuando x tiende a x₀:

lim f(x) = -∞

Límites en el infinito

Un subconjunto de A de R tal que A⋂R⁺ no está acotado, tiene como punto de acumulación ∞, análogamente, si A⋂R⁻ no está acotado, -∞ es un punto de acumulación de A.

Diremos que L R es el límite de f(x) cuando x→∞ si 𝜖>0, K>0, x > K, |f(x) - L| < 𝜖.

Asimismo, puede existir un límite infinito cuando x tiende a infinito (+∞ o -∞).

Diremos que +∞ es el límite de f(x) cuando x→+∞ si para todo K'>0 existe un K>0 tal que x > K ⇒ f(x) > K'.

Igualmente se pueden definir los tres casos restantes.

Todos los casos apuntados se pueden condensar en una sola definición:

L ∈ R es el límite de la función f(x) en x₀ ∈ R, punto de acumulación del subconjunto A ⊂ R donde está definida f(x), si para todo entorno de E de L, podemos encontrar un entorno reducido  H de x₀ tal que:

x ∈ H ⇒ f(x) ∈ E

NOTA: La f(x) puede no estar definida en x₀ y sin embargo, existir L.

Condición de Cauchy

Para que f(x) tenga límite finito en el punto x₀, es necesario y suficiente que cualquiera que sea el número real positivo 𝜖 > 0, exista otro número real positivo ẟ, tal que para todo par de puntos x', x'', verificando las condiciones:

|x' - x₀|≤ẟ, |x'' - x₀|≤ẟ, x' A, x'' A, x'≠ x₀, x'' ≠ x₀

tenga

|f(x') - f(x'')| < 𝜖

o lo que es lo mismo que para todo 𝜖 > 0 se pueda encontrar un entorno reducido de x₀ E tal que para

∀x', x'' ∈ E ⇒ |f(x') - f(x'')| < 𝜖

Esto significa que cuando n tiende a infinito:

L = lim f(x) = lim f(xₙ)

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La demostración de las condición, en la siguiente entrada.