Punto de acumulación y punto adherente

 Punto de acumulación

Sea E un subconjunto de espacio topológico Ω y un punto a Ω, se dice que es un punto de acumulación de E si ∀ abierto A ⊂ Ω, que incluye el punto a si existe algún otro punto b, distinto de a, tal que b ∈ E.

El conjunto de los puntos de acumulación se llama conjunto derivado de E y se escribe E'.

Los conjuntos derivados verifican:

1. (A∪B)' = A'∪B'
2. Si A ⊂ B ⇒ A' ⊂ B'
3. (A∩B)' = A'∩B'

Punto adherente

En un espacio topológico Ω, un punto a Ω es un punto adherente de un subconjunto E ⊂ Ω si pertenece a E o bien es punto de acumulación de E.

Se dice que a ∈ Ω, es un punto adherente, si todo entorno de a tiene una intersección no vacía con E, o sea, si todo entorno de a contiene algún punto de E.

El conjunto de puntos adherentes de un conjunto E se llama adherencia cierre o clausura de E, y se representa por  E.

El cierre, clausura o adherencia es la intersección de todos los cerrados que contienen a E. 

Se cumplen las siguientes propiedades:

1. E = E∪E'
2. E⊂E
3. Si B⊂A ⇒ B ⊂ A
4. A∪B  = A ∪ B
5. A∩B ⊂ A∩B
6. A es cerrado si A = A o si A' ⊂ A
7. A es cerrado.