Límite de una función compuesta

 Si f(x) es una función real de variable real de A ⊂ R en R, y g(y) es una función real de variable real de B ⊂ R en R, con f(A) ⊂ f(b) y existe, cuando x tiende a x₀ lim f(x) = L₁, y también existe  cuando y tiende a y₀, lim g(y) = L₂, siendo y₀ = f(x), entonces existe, cuando x tiende a x₀, lim (g∘f)(x), y coincide con, cuando y tiende a y₀, lim g(y) = L₂.

Demostración

Al ser L₂ = el lim g(y) cuando y tiende a y₀ tendremos que para cada 𝜖 > 0 existe un ẟ > 0 tal que

|y - y₀| < ẟ ⇒ |g(y) - L₂| < 𝜖

y al ser L₁ el lim f(x) cuando x tiende a x₀, tendremos que a partir del ẟ anterior, podremos encontrar un ꞵ > 0 tal que |x - x₀| < ꞵ ⇒ |f(x) - L₁| < 𝜖, luego ∀ 𝜖 > 0 ∃ ꞵ/|x - x₀| < ꞵ ⇒ |(g∘f)(x) - L₂| < 𝜖, o sea que cuando x tiende a x₀:

lim [(g∘f)(x)] = L₂