Continuidad uniforme

 Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces para cada punto interior x₀ significa que dado un 𝜖 > 0, existe un número ẟ > 0 que depende de x₀ tal que |x - x₀| < ẟ, implica que |f(x) - f(x₀)| < 𝜖. En general, no podemos esperar que para un 𝜖 > 0 sirva un ẟ fijo para todo el intervalo [a, b]. Esto, sin embargo, puede ocurrir. Cuando es así, la función se llama uniformemente continua en [a, b].

Observa que la continuidad uniforme es una propiedad global.

Definición:

La continuidad de f(x) en A→R definida en un intervalo A ⊂ R se dice uniforme en A si para cada 𝜖>0 existe un ẟ>0 tal que para cualquier par de puntos x', x'' A, se cumpla |x' - x''| < ẟ, |f(x') - f(x'')| < 𝜖.

Ejemplo

Sea f(x) = sen (x)

Para un 𝜖 cualquiera, |sen(x) - sen(x')| = 2|sen((x-x')/2)·cos((x+x')/2)| < 2·|(x - x')/2|<𝜖.

Sin más que tomar |x - x'|<𝜖 = ẟ, tenemos f(x) = sen (x) definida en R es uniformemente continua en R.

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De la definición de continuidad y continuidad uniforme se deduce que la continuidad uniforme en el intervalo implica la continuidad en el mismo. La recíproca de esta propiedad es también válida, en el caso de que el intervalo sea cerrado. Este resultado se conoce como el teorema de Heine-Carré. Afirma que la continuidad en todo intervalo cerrado es uniforme.

Para demostrarlo, hacemos la demostración por reducción al absurdo, esto es, supondremos que no es uniformemente continua y veremos como llegamos a un absurdo. Así pues, sea el intervalo cerrado [a, b], existirá un 𝜖>0 tal que para los infinitos pares de puntos x', x'' tan próximos como se quiera sería |f(x') - f(x'')| > 𝜖. Dividamos el intervalo [a, b] en dos partes, por su punto medio c. En uno al menos de los dos intervalos cerrados existirán infinitos puntos como los anteriores, pues si los pares tuviesen un punto en cada intervalo, su punto de acumulación sería c, y este sería un punto de discontinuidad, cosa que no puede ocurrir por ser f(x) continua. Dividamos ahora el intervalo que contenga una infinidad de puntos, y así sucesivamente. Esta sucesión de intervalos, contiene un punto tal que en todo entorno suyo existen pares donde los valores de f(x) difieren más de 𝜖, y es por tanto, un punto de discontinuidad, en contra de la hipótesis de que f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b].