Notaciones y propiedades del infinitésimo

 A partir de la definición de límite de una función real podemos construir una nueva función φ de modo que si el límite cuando x tiende a x₀ es igual a L, esta nueva función que construimos es:

φ(x) = f(x) - L

Evidentemente, cuando x tiende a x₀, el límite de φ(x) es igual a 0.

A este tipo de funciones tales que tienden a 0, o  al tender x →∞ se les llama infinitésimos. Observa que no se puede hablar de infinitésimo de una manera absoluta. Así, 1/x es un infinitésimo si x tiende a 0, pero no lo es si x tiende a 2. En un punto podemos sustituir la función por la suma del límite de la función en un punto más un infinitésimo.

Vamos a empezar viendo la notación O y o que se conocen como notaciones de Bachman.

La expresión f(x) = O(g(x)) para x ∈ X, denota que existe una constante real K > 0 y un intervalo X ⊂ A tal que:

|f(x)|≤K|g(x)|

Análogamente se escribe:

f(x) = O(g(x)) si en particular, existe y es finito el límite cuando x tiende a x₀ de f(x)/g(x) , además sea distinto de 0.

Si existe y es finito el límite cuando x tiende a 0 de:

lim f(x)/x^p = K ≠ 0

cuando p > 0, se dice que f(x) es un infinitésimo de orden p respecto del infinitésimo x.

De igual forma, si cuando x tiende a ∞, el límite de φ(x)/x^p es igual a k, distinta de cero, y p > 0, se dice que φ(x) es un infinitésimo de orden p respecto del infinito x.

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Si para todo 𝜖>0, existe un intervalo X con centro en x₀, tal que ∀x, x₀ ≠ x X, |f(x)|≤𝜖g(x), escribiremos f = o(g).

En este caso, si existe el límite cuando x tiende a x₀ de f(x)/g(x), dicho límite ha de ser 0.

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Diremos que f y g son equivalentes en x₀ cuando f = O(g), g = O(f).

Desde luego, si el límite existe, debe ser igual a 1. Pero puede no existir dicho límite.

Asimismo, si dos funciones f y g son equivalentes, entonces f - g = o(f)=o(g).

Las funciones equivalentes tienen una importancia capital en el cálculo de límites pues pueden sustituirse unos por otros.

Propiedades de las operaciones con infinitésimos

• La suma de un número finito de infinitésimos es un infinitésimo cuando x tiende a x₀, y si los infinitésimos son del mismo orden p, será un infinitésimo de orden ≥ p. El orden de un infinitésimo no varía al sumarle o restarle otro de orden superior.
• El producto de un número finito de infinitésimos es un infinitésimo, y si es un número n de infinitésimos y tiene ordenes p₁,p₂,...,pₙ será un infinitésimo de orden p₁ + p₂ + ... + pₙ.
• El producto de un infinitésimo por una constante cualquiera o por una variable acotada es un infinitésimo.