Estudio completo de la función exponencial (1)

 Función exponencial de variable natural

Es una función del conjunto de los números naturales distintos del 0, en el conjunto de los números reales, donde a cada número natural n le hacemos corresponder su imagen aⁿ, siendo a ∈ R la base y n el exponente.

Ejemplo

Veamos 2ⁿ.

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• Dominio. La función exponencial está definida para todos los valores de N*.
• Signo. Todas las imágenes de esta función son positivas.

Crecimiento

• Cuando a<1, la función exponencial es decreciente, ya que a medida que a aumenta n, la imagen cada vez es menor por tanto, la función es decreciente. Por ejemplo, la función y = (0,8)ⁿ:

• Si a = 1, la función exponencial es constante.
• Si a>1, la función exponencial es creciente (visto en el ejemplo anterior)

Una propiedad fundamental de la función exponencial de variable natural es la siguiente:

La exponencial de la suma es igual al producto de los exponenciales de los sumandos, es decir: n+m→a^n+m = aⁿa^m

Función exponencial de variable entera

Se puede ampliar el concepto de función exponencial al caso de variable entera. En este caso, el dominio serán todos los número enteros. Una propiedad importante es la siguiente:

aⁿ/a^m = a^n-m

Función exponencial de variable racional

Sabemos que a^m/n es igual a (a^1/n)^m, siendo a >0 por tanto podemos volver a ampliar el dominio de definición de la función exponencial a todos los números racionales.

Tenemos las siguientes propiedades:

• (a·z)^m/n = a^m/n·z^m/n
• (a/z)^m/n = a^m/n/z^m/n