Ejercicios y problemas sobre funciones reales y continuas

 Ejercicio 1

Tenemos que demostrar que cuando x tiende a infinito, el límite de (x+1)/(x+7) es igual a 1.

Solución

|(x+1)/(x+7) -1| < 𝜖 ⇔ |(x+1 - x - 7)/(x+7)|<𝜖 ⇔ |-6/(x+7)|<𝜖

Por lo tanto:

6/(x+7) < 𝜖,  (x+7) >6/𝜖

Si tomamos 𝜖 como 0,01, tenemos:

x + 7 > 600 => x > 503

Cuando x vale más de 503, entonces (x+1)/(x+7) dista de menos de una centésima y ∀𝜖>0 podemos encontrar un x tal que a partir de él:

|(x+1)/(x+7) -1|<𝜖

Ejercicio 2

Tenemos que demostrar que cuando x tiende a 1, el límite de (2x⁴-6x³+x²+3)/(x-1) es igual a -8.

Solución

Al sustituir el valor de x = 1, en la función tenemos:


(2 -6 +1 +2)/(1-1) = 0/0 INDETERMINACIÓN

Intentamos resolverla dividiendo:

(2x⁴-6x³+x²+3)/(x-1) = 2x³-4x²-3x -3

Al sustituir en la nueva función x=1, tenemos:

2·1 - 4·1 -3·1 - 3 = -8

Ejercicio 3

Tenemos que estudiar la continuidad en el punto de abscisa 1 de la función:
  • x² + 1, x<1
  • 2 x = 1
  • x + 1 x >1
Solución

Comprobamos que tiene límite cuando x tiende a 1:
  • lim f(x) = lim(x²+1) = 2 (para x <1)
  • lim f(x) = lim(x+1) = 2 (para x > 1)
Como los límites laterales existen y además coinciden, tenemos que el límite de f(x) cuando x tiende a 1  es 2.

La función está definida, ya que f(1) = 2.

Como el límite de f(x) cuando x tiende a 1 coincide con f(1), la función es continua en el punto de abscisa 1.

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