Propiedades de las funciones continuas

 Vamos a enunciar algunas propiedades características de las funciones continuas.

1. Si una función f(x) definida en el intervalo R es continua en x₀ y f(x₀) ≠ 0, entonces, en algún entorno de x₀, la función mantiene signo constante el signo de f(x₀) y además existe un valor r >0 tal que en dicho entorno |f(x)| > r. Recíprocamente, si una función es continua en un punto x₀ y en todo entorno de x₀, toma valores positivos o negativos, entonces f(x₀) = 0.
2. Si una función de variable real está definida en un intervalo [a, b], es continua en todo en el intervalo y f(a)·f(b) < 0, entonces existe un punto C ∈ [a, b], tal que f(c) = 0. Esta propiedad se puede enunciar de forma más general: si f(x) es una función continua en [a, b] entonces para cualquier valor K comprendido entre f(a) y f(b) existe un punto c tal que f(c) = K.
3. Si una función está definida en el intervalo cerrado [a, b] y es continua en todo el intervalo, entonces la función está acotada en [a, b] y existe un punto de intervalo c, tal que f(a) = extremo superior de f(x), con x ∈ [a, b].