Un par de teoremas importantes

 Teorema

Sea f una función real definida en A, sea x₀ un punto de acumulación de A Para que f tenga por límite L en el punto x₀, es necesario y suficiente que cualquiera que sea la sucesión xₙ de puntos de A, distintos de x₀, pero que converge hacia x₀, la sucesión de números reales |f(x)| tenga por límite L.

 

Condición necesaria

Suponemos que lim f(x) = L, cuando x tiende a x₀ y que {xₙ} ⊂ A. Fijado 𝜖>0, por ser el lim f(x) = L, cuando x tiende a x₀, existe un ẟ>0 tal que para

|x - x₀|≤ẟ, x ∈ A, x≠x₀ ⇒|f(x) - L| < 𝜖

Para cada ẟ, por ser lim xₙ = x₀ cuando n tiende a infinito, existe un número natural N tal que n ≥N=> |xₙ - x₀|≤ẟ y xₙ ∈ A, xₙ ≠ x₀, luego ∀𝜖>0 le hacemos corresponder un número natural N, tal que n≥N⇒|f(xₙ) - L|≤𝜖, que es lo que tratábamos de demostrar.

Condición suficiente

Debe cumplirse que si, cuando n tiende a infinito:

• lim xₙ = x₀, lim f(xₙ) = L, implica que lim f(x) = L, cuando x tiende a x₀

Supongamos que L no sea el límite de la función en el punto x₀; esto implicaría que existe 𝜖>0, existe ẟ>0, x ∈ A, x≠ x₀ verificando que |x - x₀| < ẟ y para el cual |f(x) - L| < 𝜖.

Dando a ẟ sucesivamente los valores de la sucesión {1/n}, n = 1, 2, 3, ... obtendríamos una sucesión de puntos de A {xₙ}, distintos de x₀, verificando |xₙ - x₀|≤1/n.

La sucesión {xₙ} converge evidentemente hacia x₀, y sin embargo, la {f(xₙ)} no puede tener por límite L, lo cual contradice la hipótesis.

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Otro teorema

Si f(x), g(x), h(x) son funciones reales definidas en un conjunto A ⊂ R, x₀ es un punto de acumulación de A y para valores distintos de x₀ tales que |x - x₀|<ẟ la función h(x) está comprendida entre f(x) y g(x), es decir:

|f(x)-g(x)| = |f(x) - h(x)| + |g(x) - h(x)|

Se cumple que si f(x) y g(x) tienen el mismo límite L en x = x₀ existe el límite de h(x) cuando x→x₀ y su valor es L, o sea que cuando x tiende a x₀:

lim f(x) = lim g(x) = lim h(x) = L

Os propongo que intentéis la demostración.