Algunos ejemplos de funciones continuas

 Funciones exponencial y logarítmica

La función ex es continua y estrictamente creciente en R. Si x tiende a -∞, el límite de ex es 0, y si tiende a +∞, el límite de ex es +∞.

La inversa de la función ex es Ln(x) que es también estrictamente creciente y continua.

Funciones trigonométricas

  • f(x) = sen x. La gráfica se indica en la figura

Ejemplo de continuidad con la función seno


Esta función es creciente en el intervalo (-𝜋/2,𝜋/2), y también es continua en dicho intervalo:
  • sen(𝜋/2) = 1
  • sen(-𝜋/2) = -1
Luego está definida la función inversa f-1(x) = arc sen (x), y es estrictamente creciente y continua en el intervalo [-1, 1].

Luego la gráfica será:

Ejemplo función arc sen (x) continuidad

Nota que no consideramos la función sen (x) definida en toda la recta real, en la cual sería no inyectiva, sino solamente su restricción al citado intervalo (-𝜋/2,𝜋/2).

  • f(x) = cos(x). 
Definida en el intervalo cerrado [0, 𝜋] es estrictamente creciente y continua. Su función recíproca f-1(x) = arc cos (x), definida en (-1, 1) y con valores (0, 𝜋), es también continua y estrictamente creciente. Nota que como en el caso anterior no hemos considerado la función cos (x) definida en toda la recta real, en la cual no sería inyectiva, sino sólo con la restricción al intervalo [0, 𝜋].

Ejemplo función coseno continuidad


Y la gráfica de la función arc cos (x), en el citado intervalo:

Ejemplo función arc cos(x) continuidad



Otro ejemplo de función trigonométrica es la función f(x) = tg (x), definida en el intervalo (-𝜋/2, 𝜋/2), que es continua y estrictamente creciente. Además, el límite de tg (x) cuando x tiende a 𝜋/2 es -∞, y cuando x tiende a  𝜋/2 es +∞. Su función inversa estará definida en R y será continua y estrictamente creciente. Como en los dos casos anteriores, observa que no hemos partido de la función tg (x) en su más amplio campo en la recta real, sino de su restricción al citado intervalo.

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