Composición de funciones continuas
Si f:A→R es una función continua en x₀ y g:B→R es una función también continua en f(x₀) y de modo que f(A) ⊂ f(B), entonces g∘f es una función también continua en x₀.
La demostración es inmediata:
- Por ser f(x) continua en x₀, el límite de f(x) cuando x tiende a x₀ es igual a f(x₀).
- Por ser g(x) continua en f(x₀), el límite de g(x) cuando x tiende a f(x₀) es igual a g(f(x₀))
Por ejemplo:
ef(x), Ln(f(x)), sen(f(x)), etc
Vamos a ver ahora una series de cuestiones relativas a
las funciones inversas:
Sea f(x) una función estrictamente creciente en el intervalo [a, b], entonces existe la función inversa y es estrictamente creciente.
En primer lugar, f(x) es estrictamente creciente si xᵢ < xⱼ ⇒
f(xᵢ)<f(xⱼ) y esto se cumple para ∀ xᵢ,xⱼ ∈ [a,b].
Desde luego, si xᵢ≠xⱼ⇒f(xᵢ)≠f(xⱼ), luego la función es biyectiva. Desde luego,
estamos considerando como conjunto imagen [f(a), f(b)], la función inversa en
estas circunstancias existe y es creciente. Si no lo fuese, tendríamos:
yᵢ<yⱼ ⇒f-1(yᵢ) > f-1(yⱼ)
f-1(yᵢ) = xᵢ, f-1(yⱼ), xᵢ>xⱼ⇒yᵢ>yⱼ, lo que iría en contra de la
hipótesis
Sea f(x) una función estrictamente creciente y continua en [a, b], entonces f-1 es continua en [f(a), f(b)].
En efecto, sea y₀ [f(a), f(b)], vamos a ver que f-1 es continua en y₀;
suponemos f(x₀) = y₀.
Tomemos un 𝜖>0 cualquiera y consideremos el intervalo (x₀-𝜖, x₀+𝜖) de
[a,b]. Desde luego:
y₀ ∈ [f(x₀-𝜖), f(x₀+𝜖)]
Tomemos ẟ = mínimo[f(x₀+𝜖) - f(x₀), f(x₀) - f(x₀ - 𝜖)]. Entonces resulta: (y₀
- ẟ, y₀ + ẟ) < [ f(x₀ - 𝜖), f(x₀ + 𝜖)].
∀ 𝜖>0 ∃ ẟ>0 |y-y₀| < ẟ ⇒ [f-1(y) - f-1(y₀)] = |x - x₀| < 𝜖
luego f-1 es continua, como queríamos demostrar.
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