Introducción a las funciones continuas

 Veamos la definición de continuidad en un punto.

Sea f(x) una función definida en A = [a, b] siendo A un intervalo cerrado de R. La función f(x) es continua en x₀ ∈ A si ∀𝜖>0 es posible encontrar un ẟ>0 tal que:

|x - x₀|<ẟ ⇒ |f(x) - f(x₀)|<𝜖

es decir a todo intervalo abierto con centro f(x₀) H_𝜖 se le puede hacer corresponder un intervalo abierto con centro en x₀ E_ẟ(x₀) tal que:

(x ∈ E_ẟ(x₀))⇒ f(x) H_𝜖

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Cuando una función no es continua en un punto se dice que es discontinua en él.

La definición de continuidad de una función numérica en un punto x ∈ A del intervalo en el que está definida es equivalente a la siguiente:

Una función  definida en un intervalo A ⊂ R es continua en un punto x₀ ∈ A, si y solo si, existe el límite de f(x), cuando x tiende a x₀ y coincide con el valor de f(x₀).

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La consideración de los límites laterales en una función permite establecer otras definiciones:

• Continuidad a la derecha: una función f:A→R es continua a la derecha de un punto x₀ del intervalo A de definición cuando existe el límite de f(x) cuando x tiende a x₀⁺ y dicho límite es igual a f(x₀).
• Continuidad a la izquierda: una función f es continua a la izquierda en un punto x₀ ∈ A cuando existe el límite de f(x) cuando x tiende a x₀⁻ y dicho límite vale f(x₀).

Una condición necesaria y suficiente para que una función sea continua en un punto es que sea simultáneamente continua en dicho punto, por la derecha y por la izquierda.

Ejemplo

Sea f:[0,1]→R definido por:

• f(x) = x para x ∈ [0,1/2)
• f(x) = x - 1/2 para x ∈ [1/2,1]

Estudiamos su continuidad para x = 1/2

• lim f(x) = 0, cuando x tiende a (1/2)⁺
• lim f(x) = 1/2, cuando x tiende a (1/2)⁻

luego la función no es continua en 1/2.

NOTA: Una función f se define como continua en un conjunto A, cuando es continua en todos los elementos de A.