Límites laterales

 La indicación x→x₀ decimos que x se aproxima al valor x₀ (es lo mismo que decir que x tiende a x₀), pero puede tomar valores mayores o menores que x₀, es decir, puede acercarse por la izquierda o por la derecha. Esto nos lleva a conceptos de límites laterales de la función en un punto.

Se dice que L es el límite por la derecha de la función f(x) en el punto x₀, cuando para cada número real 𝜖 > 0 existe otro ẟ > 0 tal que

0<x - x₀<ẟ⇒|f(x) - L|<𝜖

y cuando x tiende a x₀⁺, 

L = lim f(x)

Definimos el límite por la izquierda:

si ∀ 𝜖>0, ∃ ẟ tal que 0 < x - x₀<ẟ ⇒|f(x) - L| < 𝜖

y cuando x tiende a x₀⁻

L = lim f(x)

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La condición necesaria y suficiente para la existencia de límite en un punto x₀ es que existan y sean iguales a los límites laterales.

Demostración de la condición necesaria

Vamos a demostrar que cuando x tiende a x₀⁺ el lim f(x) es igual cuando x tiende a x₀⁻ = L, por lo que cuando x tiende a x₀, lim f(x) = L.

• Límite por la derecha

∀𝜖>0, ∃ ẟ₁/0<x-x₀<δ₁, x ∈ A, x > x₀ ⇒ |f(x) - L|<𝜖

• Límite por la izquierda

∀𝜖>0, ∃ ẟ₂/0<x-x₀<δ₂, x ∈ A, x > x₀ ⇒ |f(x) - L|<𝜖

• Tomamos ẟ = min(ẟ₁, ẟ₂), entonces resulta:

∀𝜖>0,/0<x-x₀<δ ⇒ |f(x) - L|<𝜖

• Luego resulta, cuando x tiende a x₀

lim f(x) = L