Demostración de la condición de Cauchy

 Esta entrada explica un concepto de la entrada anterior.

Demostración que la condición es necesaria

Es decir, estamos suponiendo que f(x) = L. Fijado arbitrariamente el número 𝜖>0, consideremos el 𝜖/2, y para este número, en virtud de la hipótesis existirá otro δ>0, tal que |x - x₀|≤δ, x ∈ A, x≠h implica:|f(x) - L|≤𝜖/2. Si x', x'' son dos puntos cualesquiera de A, que verifiquen las condiciones anteriores, podemos escribir:

|f(x')-L|≤𝜖/2, |f(x'') - L|≤𝜖/2

luego:

|f(x') - f(x'')| = |f(x') - f(x'') -L +L|≤|f(x') -L| + |L-f(x'')| ≤𝜖/2 + 𝜖/2 = 𝜖

queda por tanto demostrada que la condición es necesaria.

Demostración que la condición es suficiente

Sea {xₙ} una sucesión de números reales que convergen hacia x₀. Se tiene que xᵢ ∈ A ∀i. Entonces, fijado arbitrariamente el número real ẟ>0 existirá un N, tal que si m≥N, n≥N, |xₘ - x₀|≤ẟ, |xₙ-x₀|≤ẟ. Si en particular este ẟ es el que corresponde de acuerdo con la hipótesis a un 𝜖>0 arbitrariamente fijado de antemano se tendrá que m≥N, n≥N implica:

• |f(xₘ) - f(xₙ)|≤𝜖, lo cual prueba que {f(xₙ)} es una sucesión de Cauchy. Llamemos L al límite de {f(xₙ)}. Si en lugar de partir la sucesión {xₙ} convergente hacia x₀ encontramos análogamente que la sucesión |f(xₙ)| tiene límite. A dicho límite lo llamamos L'.

La sucesión x₁, x'₁, x₂, x'₂,..., xₙ, x'ₙ que evidentemente converge hacia x₀, da origen a:

• f(x₁), f(x'₁), f(x₂), f(x'₂),...,f(xₙ),f(x'ₙ), que sería también convergente según lo que ya se ha demostrado, y para ello es necesario que L = L'. Luego, cualquiera que sea la sucesión {xₙ} convergente a x₀ el límite de f(xₙ) es fijo. Queda demostrada que la condición es suficiente.