Operaciones con funciones

 Si dos funciones numéricas están definidas sobre un mismo conjunto A, entonces podemos sumarlas y multiplicarlas.

Sean f:A→R, g:A→R

Se llama función suma de ambas a la función:

h:A→R tal que ∀x ∈ A h(x) = f(x) + g(x)

Esta suma es asociativa.

El conjunto de funciones numéricas definidas sobre un conjunto A forman un grupo aditivo abeliano, la función nula es la función que a cada elemento de A hace corresponder el 0 de R; la función opuesta es la definida por:

-f(x) = (-f)(x)

En cuanto al producto de funciones definidas sobre el mismo conjunto A:

(f·g)(x) = f(x)·g(x)

la nueva función es una función numérica definida sobre el mismo conjunto A. El producto es asociativo.

Existe elemento unidad respecto del producto, precisamente la función que hace a cada elemento x ∈A le hace corresponder el elemento 1 de R.

El producto de funciones numéricas no tiene nada que ver con la composición de funciones que se define en Álgebra. La composición de dos funciones es (f∘g)(x) = f(g(x)).

Ejemplo

Consideremos las funciones:

1.

• f(x) = 1, x >0
• f(x) = 0 x≤0

2.

• g(x) = 0 x≥0
• g(x) = 1 x < 0

Evidentemente, f(x)·g(x) es la función nula y ninguna de las dos funciones es la función nula.

Podemos definir una función f de A en R tal que 0 f(A), por lo que entonces podemos considerar la función:

1/f:A→R ∀x ∈ A, (1/f)(x) = 1/f(x)

En el conjunto de funciones de A en R, se puede definir una multiplicación escalar con elementos de R:

f:A→R ∀K ∈ R (Kf)(x) = Kf(x)

esta multiplicación escalar y la suma de funciones le da configuración de espacio vectorial sobre R.