Algunas aplicaciones de la derivada

Muchos conceptos de Física y Química pueden expresarse mediante derivadas. Si un hecho físico puede representarse por una función, la derivada de esta función representará otros aspectos de dicho fenómeno. Así, por ejemplo, la velocidad, la aceleración...

 El espacio recorrido por un móvil será una función del tiempo empleado en el recorrido.

Si

e = f(t)

cuando haya transcurrido un incremento de t en el espacio se habrá cambiado en:

Δe = f(t + Δ) - f(t)

Se define como velocidad media el cociente:

Vm = Δe/Δt

Si queremos hallar la velocidad instantánea pasaremos a límites (cuando t tienda a cero);

v = de/dt

Vemos que la velocidad instantánea es la derivada del espacio respecto al tiempo.

Con la aceleración ocurre lo mismo, ya que la aceleración media podemos definirla;

am = ΔV/Δt

si queremos hallar la aceleración instantánea tomaremos los límites (cuando t tiende a 0):

a = dV/dt = (d·(de/dt))/dt = d²e/dt²

La aceleración instantánea será la derivada primera de la velocidad o también la derivada segunda del espacio.

Ejemplo

Si el espacio recorrido por un automóvil viene dado por la ecuación:

e = t² + 8t - 5

tenemos que calcular la velocidad y aceleración al cabo de 10 segundos.

Para calcular la velocidad derivamos una vez la ecuación del espacio con respecto al tiempo.

V = de/dt = 2t + 8

la velocidad al cabo de 10 segundos:

V = 2·10 + 8 = 28 m/s

Para el cálculo de la aceleración derivamos dos veces con respecto al tiempo:

a = dV/dt = d(2t + 8)/dt = 2

Por lo que:

a = 2 m/s²

La aceleración en este caso no depende del tiempo, es constante.

Comentarios

Publicar un comentario

Puedes dejar tus comentarios, sugerencias o dudas.

Entradas populares de este blog

Cálculo de la característica y de la mantisa

 Cálculo de la característica Todo número está comprendido entre dos potencias; la característica será el exponente de la menor de las dos potencias. Por ejemplo, sea el número 73. 73 es menor que 100, pero mayor que 10. 10¹<73<10² La característica de 10 es 1 y su mantisa es 0. La característica de 100 es 2 y su mantisa es 0. El logaritmo de 73 no podrá llegar a 2 pero tendrá que ser mayor que 1. 1<log 73 <2 log73 = 1,.... Sea ahora el número 0,0007. En este caso, el número es mayor que 0,0001 y menor que 0,001 0,0001 < 0,0007 < 0,001 10 -4 <0,0007<10 -3 Nuestro número tendrá por tanto un logaritmo comprendido entre -4 y -3: -4 < log 0,0007<-3 log 0,0007 = -4..... La mantisa de un logaritmo es siempre positiva; por ello cuando la característica es negativa se señala colocando encima de ella un signo negativo: log 0,0007
Leer más

Fórmula de aproximación de Taylor

 Polinomios de Taylor Dado el polinomio P(x) de grado n y un x = x₀ queremos ordenarlo en potencias de (x-x₀). Es decir: P(x) = a₀ + a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)²+...+aₙ(x-x₀)ⁿ O sea, tenemos que calcular los coeficientes a₀, a₁, a₂,..., aₙ, pero no lo haremos aplicando las divisiones sucesivas de la Regla de Ruffini, sino por derivación . Los coeficientes se determinan del siguiente modo: P(x₀) = a₀ Derivamos el polinomio sucesivamente: P'(x) = a₁ + 2a₂·(x-x₀) + 3·a₃·(x-x₀)²+...+n·aₙ·(x-x₀) n-1 P''(x) = 2a₂ + 6a₃·(x-x₀) + ...+n(n-1)·aₙ·(x-x₀) n-2 .......................................................................................................... P (n (x) = n!·aₙ Si lo particularizamos en el punto x₀ tenemos: P'(x₀) = a₁ P''(x₀) = 2!·a₂ P'''(x₀) = 3!·a₃ ..............................................................................
Leer más

Formas de representar la recta (1)

 Tenemos varias formas de representar la recta: Forma normal Si en las ecuaciones paramétricas, explicadas en la entrada anterior , eliminamos 𝜌: (x-x₁)/p = (y - y₁)/q = (z - z₁)/r que es la ecuación normal o continua de la recta. Si lo referimos a ejes rectangulares: p = cos 𝛼, q = cos ꞵ, r = cos 𝛾 y por tanto: (x - x₁)/ cos 𝛼 = (y - y₁)/cos ꞵ = (z - z₁)/cos 𝛾 siendo 𝛼, ꞵ, 𝛾 los ángulos que forma la recta con los ejes coordenados. Tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales en el cual, si conocemos la razón común, 𝜌, obtendríamos las tres ecuaciones paramétricas que dan las coordenadas x, y, z de todos los puntos que pertenecen a la recta. Forma ordinaria Podemos definir la línea recta como la intersección de los dos planos proyectantes sobre los planos xz y yz. Tendremos entonces el sistema: x = az + h y = bz + k que es la forma ordinaria de la recta y que se ve que: (x - h)/a = z, así como (y - k)/b = z Luego: (x - h)/a = (y - k)/b = (z - 0)/1 que es la forma normal de la
Leer más