Derivada de una función exponencial

 Podemos distinguir 4 casos:

• y = a^u, siendo a constante.

Tomando logaritmos neperianos:

Ln y = Ln a^u = u·Ln a

Derivando:

y'/y = u'·Ln a

entonces, y' = u'·Ln a·y

Ejemplo

Vamos a hallar la derivada de y = 4^x³+2.

y' = 4^x³+2·Ln 4·3x²

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• y=e^u

Ejemplo

Hallar la derivada de y = e^8x⁴.

y' = e^8x⁴·32x³

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• y = e^x 

Aplicando la regla anterior:

y' = e^x

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• y = u^v 

tomando logaritmos neperianos:

Ln y = Ln u^v = v Ln u

derivando:

y'/y = v'·Ln u + v·(u'/u)

Despejando y':

 

y' = v'·u^v·Ln u + u^v-1·v·u'

La derivada de una función exponencial y potencial es igual a la suma de los resultados que se obtienen al derivarla como exponencial y potencial.

Ejemplo

Calcular la derivada de y = (3x-2)^(5x²+7)

Tomando logaritmos neperianos:

Ln y = Ln(3x-2)(5x²+7) = (5x²+7)·Ln(3x-2)

derivando:

y'/y = 10x·Ln(3x-2) + (3/(3x - 2))·(5x²+7)

por lo tanto:

y' = (3x-2)^(5x²+7)·[10x·Ln(3x-2) + (15x²+21)/(3x-2)]