Derivadas de funciones inversas

 Derivada de la función inversa del seno

Sea la función y = arc sen u, para calcular su derivada tenemos en cuenta que:

y = arc sen u, u = sen y

Derivando

u' = y'cos y

Despejando y':

y' = u'/(cos y)

como cos  y = √(1-sen² y), sustituimos:

y' = u'/(√(1 - sen²y) = u'/(√(1-u²)

Ejemplo

Calcular la derivada de la función:

y = arc sen(5x²+8x)

y' = (10x+8)/(√(1 - (5x²+8x)²) = (10x + 8)/√(1-(25x⁴+64x²+80x³)) = (10x+8)/√(1-25x⁴-64x²-80x³)

Derivada de la función inversa del coseno

Para derivar la función y = arc cos u partimos de que es la función inversa del coseno, por lo que:

u = cos y

derivando:

u' = -y'·sen y

Despejando y':

y' = -u'/(sen y) = -u'/√(1-cos² y) = -u'/√(1 - u²)

Ejemplo

Calcular la derivada de la función:

y = arc cos (3^2x+1)

y' = -(2·3^2x+1·Ln(3))/√(1-(3^2x+1)² = -(2·3^2x+1)·Ln(3)/√(1-3^4x+2)

Derivada de la función inversa de la tangente

Para derivar la función arco tangente tenemos en cuenta, de nuevo, que se trata de una función inversa;

y = arc tg u

Por lo tanto:

u = tg y

Derivando:

u' = y'(1 + tg²y)

despejando y':

y' = u'/(1 + tg²y ) = u'/(1 +u²)

Ejemplo

Calcular la derivada de la función;

y = arc tg (5x/(x+2))

y' = (1/(1 + 25x²/(x+2)²))·[(5(x+2)-5x)/(x+2)²] = (5x +10 -5x)/[(((x+2)² + 25x)/(x+2)²)·(x+2)²] =

10/(x²+4+4x+25x²) = 10/(26x²+4x+4) = 5/(13x²+2+2x)

Derivada de la función inversa de la cotangente

Teniendo en cuenta que el arco de la cotangente es función inversa de la cotangente, podemos escribir:

y = arc ctg u

Por lo que:

u = ctg y 

Derivando:

u' = -y'(1 + ctg²y)

Despejando y':

y' = -u'/(1 + ctg²y) = -u'/(1 + u²)