Fórmula de Cauchy

 Si f(x) y g(x) son dos funciones continuas en [a, b] y derivables en  (a, b) siendo g(b) ≠ g(a), y no se anulan simultáneamente las derivadas en ningún punto intermedio y para ningún punto f'(x) = g'(x) = ∞, entonces existe al menos un punto interior para el que:

(f(b) - f(a))/(g(b)-g(a)) = f'(ξ)/g'(ξ), siendo a <ξ<b

NOTA: Observa que si g(x) = x se tiene el teorema de los incrementos finitos

Demostración

Si la función 𝛗 = g(x)·[f(b) - f(a)] - f(x)[g(b)-g(a) ], tal que: 𝛗(b) = 𝞅(a)=0, si aplicamos el teorema de Rolle;

𝛗'(ξ) = 0, con a<ξ<b

Derivando 𝛗(x) tendremos:

𝛗'(x) = g'(x)[·[f(b)-f(a)] - f'(x)·[g(b)-g(a)]

y para x = ξ

𝛗(ξ) = g'(ξ)[f(b) - f(a)]-f'(ξ)[g(b) - g(a)] = 0

luego

f'(ξ)/g'(ξ) = (f(b) - f(a))/(g(b) - g(a))

ya que no puede ser nula g'(ξ).

Generalización de la fórmula de Cauchy

Si en el punto a se anulan f'(x) y g'(x) pero no se anulan simultáneamente en ningún punto entre a y b, la fórmula de Cauchy puede escribirse:

(f(b)-f(a))/(g(b) - g(a)) = (f'(ξ₁) - f'(a))/(g'(ξ₁) - g'(a))

y suponiendo que tampoco se anulan simultáneamente f''(x) y g''(x) en ningún punto entre a y b, aplicando nuevamente el teorema tendremos:

(f(b) - f(a))/(g(b)-g(a)) = f''(ξ₂)/g''(ξ₂), siendo a<ξ₂<b

y para n tendremos:

(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) = f⁽ⁿ(ξ)/g⁽ⁿ(ξ)