Teorema de los incrementos finitos

 Si f(x) es una función de A en R definida y continua  en el intervalo cerrado A = [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b) existe al menos un punto ξ tal que:

(f(b) - f(a))/(b-a) = f'(ξ)

O lo que es lo mismo:

f(b) - f(a) = (b-a)·f'(ξ)

que se llama fórmula del incremento finito, que es lo que aplicamos en el cálculo infinitesimal, y expresa el valor de un incremento de la variable por el valor de la derivada en un punto intermedio.

Si los extremos del intervalo son x, x + h, todo punto interior se puede representar por x + θh con 0 < θ < 1, el teorema nos da:

f(x + h) - f(x) = h·f'(x + θh) con 0<θ<1

NOTA: si f(a) = f(b), tenemos el teorema de Rolle.

Demostración

Sea la función g(x) = f(x)·(b-a) + x·(f(a)-f(b)) + a·f(b) - b·f(a), que es continua en [a, b] y derivable en (a, b) al igual que f(x) y toma valores iguales a cero en los extremos del intervalo:

g(a) = g(b) = 0

Por tanto, podemos aplicar el teorema de Rolle, o sea, existe un punto intermedio ξ tal que g'(ξ) = 0.

Derivando tenemos:

g'(x) = f'(x)·(b-a) + f(a) - f(b)

y para x = ξ:

g'(ξ) = f'(ξ)·(b-a) + f(a) - f(b) = 0

luego:

f'(ξ) = (f(b) - f(a))/(b-a)

Podemos deducir cosas interesantes:

• Una consecuencia importante del teorema es que la condición necesaria y suficiente para que una función f(x) definida y derivable en [a, b] sea constante es que f'(x) = 0 en todo punto de (a, b), como se deduce de lo anterior.
• Si dos funciones tienen derivadas finitas iguales en un intervalo, la diferencia de ambas funciones es constante en todo él.