Teorema de Rolle

Si una función f definida en un intervalo cerrado [a, b] ⊂ R es continua en [a, b] y derivable en (a, b) y además, f(a) = f(b), entonces existe un punto a <c<b tal que f'(c) = 0.

Demostración

Si una función es continua en un intervalo cerrado A = [a, b] entonces será acotada. Además, el extremo superior L de f(a) es accesible y existe c ∈ [a, b] tal que f(c) = L ≥ f(a) = f(b).

Si fuera L = f(a), entonces ∀ x, f(x) = f(a), luego:

∀x, f'(x) = 0

con lo el teorema se cumple para infinitas c.

Si L > f(a), vamos a ver que en el punto c ∈ (a, b) para el que f(c) = L se cumple f'(c) = 0.

En efecto, por hipótesis existe f'(c), que es límite cuando x tiende a c de (f(x) -f(c))/(x-c), pues c ∈ (a, b); puesto que f(x) ≤ f(c) para todo x del intervalo. Por lo que tenemos:

• El límite cuando x tiende a c⁺ de ((f(x)-f(c))/(x-c) ≥ 0
• El límite cuando x tiende a c⁻ de (f(x) - f(c))/(x-c) ≤0

luego ambos, por existir f'(c), han de ser iguales, esto es, f'(c) = 0-

NOTA: Si l < f(a), existe un punto c ∈ (a, b) por el que f'(c) = 0 y se demuestra análogamente al anterior. (l es el extremo inferior)