Aplicaciones de la derivada logarítmica

 Se puede hallar la derivada de una función de una forma sencilla tomando previamente previamente logaritmos neperianos y derivando. Así si:

y = f(x)

tomando logaritmo neperiano en los dos miembros:

Ln y = Ln(f(x))

derivando:

y'/y = f'(x)/f(x)

despejando y':

y' = (f'(x)·y)/f(x)

Ejemplo

Calcular mediante derivación logarítmica la derivada de la función:

y = (3x²-5)/(5x + 1)

Tomamos logaritmos neperianos:

Ln y = Ln((3x²-5)/(5x+1))

derivando:

y'/y = (6x(5x-1)-5(3x²-5))/(5x+1)²/((3x²-5)/(5x+1))

desarrollando la expresión:

y'/y = (30x²+6x -15x²+25)/((3x²-5)(5x+1)) = (15x²+6x+25)/(15x³+3x²-25x+5)

Despejando y':

y' = (3x²-5)/(5x+1)·[(15x²+6x+25)/(15x³+3x²-25x+5)]

Desarrollando la expresión:

y' = (45x⁴+18x³+75x²-75x²-30x-125)/(75x⁴+15x³-125x²+25x+15x³+3x²-25x+5)

Por lo tanto:

y' = (45x⁴+18x³-30x -125)/(75x⁴+30x³-122x²+5)

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