Cálculo de derivadas (1)

 Derivada de una función constante

Si tenemos f(x) = C, su derivada será el límite cuando h tiende a cero de:

f'(x) = (f(x + h) - f(x))/h = (C - C)/h = 0

La derivada de una función constante es igual a cero.

De lo anterior se deduce que dos funciones que tienen la misma derivada se diferencian únicamente en la constante.

Derivada de la función identidad

Sea una función f(x) = x, su derivada será el límite cuando h tiende a cero de:

f'(x) = (f(x+h) - f(x))/h = (x + h -x)/h = 1

La derivada de una función identidad es siempre igual a 1.

Derivada de una función x²

Si f(x) = x², su derivada será el límite cuando h tiende a cero de:

f'(x) = (f(x+h) - f(x))/h = ((x + h)² - x²)/h = (x² + 2hx + h² - x²)/h = (2x + h) = 2x

La derivada de una función x² es igual al exponente por la variable independiente.

Derivada de la función x³

Si f(x) = x³, su derivada será el límite cuando h tiende a cero de:

f'(x) = (f(x + h) - f(x))/h = ((x + h)³ - x³)/h = (x³+3x²h+3xh²+h³-x³)/h = (h²+3x²+3hx) = 3x²

Derivada de la función y=xⁿ

Como generalización de los casos anteriores, la derivada de una función potencial es igual al exponente multiplicado por la variable independiente elevada al mismo exponente disminuido una unidad.

f'(x) = nx^n-1

Derivada de la función y = x^m/n

Podemos decir que es la derivada de una función potencial. Por lo tanto:

f'(x) = (m/n)·x^{(m/n -1)}