La función derivada de una función real

 La función derivada es la que resulta de asociar a cada punto el valor de la derivada en ese punto.

f'(x) = df/dx

Interpretación geométrica de la derivada

Si tenemos una curva cuya representación gráfica es la de la figura, en ella tenemos un punto A, de abscisa x, y otro punto B, de abscisa (x + h). La tangente a una curva coincide con la derivación de la función en ese punto.

Propiedades de la derivación de funciones

En primer lugar hay que hacer referencia a la continuidad:

1. Toda función derivable con derivada finita en un punto es continua en dicho punto. Asimismo, si una función tiene derivada a la derecha, entonces es continua a la derecha, si existe la derivada a la izquierda y es finita, la función es continua a la izquierda.
2. Si dos funciones f y g son derivables en un punto a entonces también son derivables en a las funciones f + g, f·g, ƛf (para todo ƛ real), y si f(a) ≠ 0, 1/f.

Si queréis comprobar la demostración, ponerlo en comentarios y haré una entrada al respecto.