La regla de L'Hopital

 La regla de L'Hopital, atribuida a Jean Bernoulli, es un sencillo corolario del teorema de Cauchy, Se utiliza para calcular límites indeterminados.

Límites de la forma 0/0

Tenemos el límite, cuando x tiende al valor a:

lim f(x)/g(x), tal que f(a) = lim f(x) = lim g(x) = g(a) = 0, siendo g(x) distinto de cero en un entorno reducido de a. Si f(x) y g(x) son continuas y con derivadas finitas no nulas simultáneamente en un entorno reducido de dicho punto y el cociente de derivadas tienen un límite finito o infinito para x→a se verifica:

lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)

Ejemplo

Calcular el valor del límite cuando x tiende a cero de

lim (1-cos x)/x² 

Aplicando la regla de L'Hopital, cuando x tiende a 0:

lim (sen x)/2x = (cos x) /2 = 1/2

Límites de la forma ∞/∞

La regla de L'Hopital también es válida para el caso en que las funciones f(x), g(x) tengan límites infinitos para x→a:

lim f(x) = ∞ y lim g(x) = ∞ (cuando x tiende al valor a)

Ejemplo

Calcular el valor del siguiente límite cuando x tiende a 0 de:

lim Ln(tg 2x)/Ln(tg x)

Aplicando L'Hopital:

lim [(1/tg 2x)·(2/cos²2x)]/[(1/tg x)·(1/cos x)] = (2/2x)/(1/x) = 1

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Estos son las formas más comunes de límites indeterminados. También puedes usar la regla de L'Hopital para las siguientes formas indeterminadas:

1. 0·∞
2. ∞-∞
3. 0⁰
4. ∞⁰
5. 1^∞