Razones trigonométricas del ángulo a +/- b

 La explicación y demostración gráfica requiere unos conocimientos vectoriales, por lo que, por si acaso no los tienes, las omito y paso a los resultados.

cos(a + b) = cos a cos b - sen a senb

sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b

Aplicando la definición de la tangente, podríamos calcularla mediante el cociente de las dos expresiones anteriores:

tg(a + b) = sen(a + b)/cos(a + b)

tg(a + b) = (sen a cos b + cos a sen b)/(cos a cos b - sen a sen b)

Dividiendo numerador y denominador entre cos a cos b nos queda:

tg(a + b) = [(sen a cos b)/(cos a cosb) + (cos a sen b)/(cos a cos b)]/[(cos a cos b)/(cos a cosb) - (sen a sen b)/(cos a cos b)]

Simplificando la expresión anterior tendremos:

tg(a + b) = (tg a + tg b)/(1 - tg a tg b)

De forma análoga a la anterior, podríamos deducir las razones trigonométricas del ángulo (a - b).

Si sustituimos -b por x, podríamos poner las fórmulas deducidas anteriormente de la siguiente forma:

sen (a + x) = sen a cos x + sen x cos a 

cos(a + x) = cos a cos x - sen a sen x

Teniendo en cuenta el signo de las razones de los ángulos opuestos, y sustituyendo x por -b, nos quedaría:

sen (a - b) = sen a cos b -cos a sen b
cos(a - b) = cos a cos b + sen a sen b

Dividiendo las expresiones anteriores, tendríamos el valor de la tangente.

tg (a - b) = (sen a cos b -cos a sen b)/(cos a cos b + sen a sen b)

Dividido entre cos a cos b, y simplificando tendríamos:

tg (a - b) = (tg a - tg b)/(1 + tg a tg b)

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