Razones trigonométricas de los ángulos complementarios

 Se dice que los ángulos ɑ y β son complementarios cuando su suma es igual a 90º. Es decir:

ɑ + β = 90º => ɑ = 90º -  β (β = 90º - ɑ)

Expresado en radianes sería:

ɑ + β = 𝝅/2 => ɑ = 𝝅/2 - β (β = 𝝅/2 - ɑ)

Para deducir las razones trigonométricas de los ángulos complementarios nos basta con observar atentamente la figura y señalar algunas simetrías:

Ángulos complementarios

El seno del ángulo β será igual al seno de (90 - ɑ), que es precisamente el coseno de ɑ. 

sen β = sen (90º - ɑ) = cos ɑ 

En radianes:

sen β = sen (𝝅/2 - ɑ) = cos ɑ

El coseno de β será igual al de (90 - ɑ) y coincidiría con el seno de ɑ, luego:

cos β = cos (90º - ɑ) = sen ɑ

En radianes:

cos β = cos (𝝅/2 - ɑ) = sen ɑ

La tangente es igual al cociente entre el seno y el coseno, luego la tangente de β será igual al seno de β partido por el coseno de β, aplicando lo deducido anteriormente tenemos:

tg β = tg(90º - ɑ) = sen(90º - ɑ)/cos(90º - ɑ) = cos ɑ/sen ɑ = cotg ɑ

En radianes sería:

tg β = tg(𝝅/2 - ɑ)  = cotg ɑ

Resumiendo lo anteriormente explicado podemos afirmar que si dos ángulos son complementarios, el seno de cualquiera de ellos será igual al coseno del otro, su coseno será igual al seno del otro y la tangente será igual a la cotangente del otro.

Ejemplo

Calcular las razones trigonométricas del ángulo de 30º, partiendo de la base de que únicamente conocemos las razones de 30º (estudiadas en la entrada anterior).

Por tratarse de complementarios, podemos poner:

β = 90º - 30º

  • sen β = cos 30º=√3/2
  • cos β = sen 30º = 1/2
  • tg  β = cotg 30º = √3
Como se ve, los resultados son correctos, únicamente tenemos que compararlos con las razones trigonométricas del ángulo de 60º, calculadas en la entrada anterior, puesto que:

β = 90º - 30º = 60º

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