Ejercicios de trigonometría

 Como siempre, algunos ejercicios para comprender mejor lo estudiado en entradas anteriores.

Ejercicio 1

Demostrar las siguientes identidades:
  1. 30º = 𝛑/6
  2. 270º = 3𝛑/2
Podemos plantear las siguientes reglas de tres:

1 radian___________180º/𝛑
x radianes__________30º

Resolviendo:

x = 30º/(180º/𝛑) = 𝛑/6; 30º = 𝛑/6
Para el segundo caso:

1 radian______________180º/𝛑
x radianes_____________ 270º

Resolviendo:

x = 270º/(180º/𝛑) = 270𝛑/180 = 3𝛑/2; 270º = 3𝛑/2

Ejercicio 2

Determinar los valores de las razones trigonométricas del ángulo ɑ, si B es un punto del lado terminal y sus coordenadas son (4, -2).

Por el teorema de Pitágoras podemos calcular la hipotenusa:

a² = b² + c²=> a² = (4)² + (-2)²; a² = 20; a= ±√20 = ±2√5

A continuación, aplicamos las definiciones trigonométricas:
  • sen ɑ = -2/ (±2√5) = ±1/√5 = ±√5/5
  • cos ɑ = 4/(±2√5) =± 2/√5 =± 2√5/5
  • tg ɑ  = sen ɑ /cos ɑ  = ±1/2
Como se ve en las opciones dadas, presentan dos opciones, una positiva y otra negativa. ¿Cuál se debe escoger? Hay que tener en cuenta que el ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante, por tanto el seno será negativo y el coseno positivo.

Por lo tanto:
  • sen ɑ = -√5/5 => cosec ɑ = -√5
  • cos ɑ = 2√5/5 => sec ɑ = √5/2
  • tg ɑ = -1/2 => cotg ɑ = -2

Ejercicio 3

Sabiendo que la sec ɑ = 5/3 y que el ángulo cumple la condición: 𝛑<ɑ<3𝛑/2, tenemos que calcular las restantes razones trigonométricas.

Según el enunciado del problema, nuestro ángulo es mayor que 180º y menor que 270º, por tanto está localizado en el tercer cuadrante.

Aplicando las razones trigonométricas conocidas, tendremos:

1 + tg² ɑ = sec² ɑ

Sustituimos la secante por su valor numérico.

1 + tg² ɑ = (-5/3)²; 1 + tg² ɑ = 25/9

Despejamos tg² ɑ:

 tg² ɑ = (25/9) - 1;  tg² ɑ: = (25 - 9)/9;  tg² ɑ: = 16/9 =>  tg ɑ = ±(4/3)

En nuestro caso, como nos estamos refiriendo al tercer cuadrante, la tangente será positiva.

tg ɑ = 4/3 => cotg ɑ = 3/4

Por otro lado:

sec ɑ = -5/3 => cos ɑ = -3/5

Aplicando la relación:

sen² ɑ + cos² ɑ = 1

sustituyendo tenemos:

sen² ɑ + (-3/5)² = 1; sen² ɑ + 9/25 = 1; sen² ɑ = 1 - 9/25; sen² ɑ = (25 - 9)/25; sen² ɑ = 16/25; sen ɑ = ±(4/5)

Como nosotros estamos en el tercer cuadrante, donde el seno del ángulo es siempre negativo, de las dos situaciones, nos quedamos con la negativa.

sen ɑ = 4/5 => cosec ɑ = 5/4

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