Razones trigonométricas de los ángulos que difieren en 90º

 Si dos ángulos difieren en 90º, debe cumplirse que:

β = ɑ + 90º

Expresándolo en radianes tendremos:

β = ɑ + 𝝅/2

Gráficamente, los dos ángulos tendrán la forma:

Ángulos que difieren 90º

Para saber cuales  son sus razones trigonométricas establecemos semejanzas. Los triángulos ABC y ADE son iguales, ya que son rectángulos y tienen sus lados perpendiculares.

Triángulos iguales

El seno del ángulo β es precisamente, en valor absoluto, el coseno de ɑ. Luego:

sen β = sen (ɑ + 90) = cos ɑ

En radianes:

sen β = sen (ɑ + 𝝅/2) = cos ɑ

El coseno de β:

cos β = cos (ɑ + 90º) = -sen ɑ

Expresado en radianes:

cos β = cos (ɑ + 𝝅/2) = -sen ɑ

En cuanto a la tangente, es suficiente con aplicar la definición y lo deducido anteriormente.

tg β = sen(ɑ + 90º)/cos(ɑ + 90º) = cos ɑ/-sen ɑ = -cotg ɑ

En radianes, tendríamos:

tg β = sen(ɑ + 𝝅/2)/cos(ɑ +  𝝅/2) = cos ɑ/-sen ɑ = -cotg ɑ

Resumiendo lo anteriormente dicho, podemos afirmar que el seno de un ángulo β es igual al coseno del ángulo con el que difiere 90º, ɑ el coseno es igual al seno del otro cambiado de signo y la tangente es igual a la cotangente del otro pero de signo contrario.

Ejemplo

Conocidas las razones de 45º, calcular las razones del ángulo que difiere con él 90º.

β = 45º + 90º = 135º
  • sen β = sen 135º = cos 45º = √2/2
  • cos β = cos 135º = -sen 45º = -√2/2
  • tg β = sen 135º/cos 135º = cos 45º/-sen 45º = -cotg45º = -1

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