Relación entre las razones trigonométricas de un ángulo

 En cualquier triángulo rectángulo, 

Triángulo rectángulo


por el teorema de Pitágoras tenemos:

b² = a² + c²

Si ahora dividimos ambos miembros de la igualdad por b² quedará:

b²/b²  = a²/b²  + c²/b² 

1 = a²/b²  + c²/b² (1)

Recordando que:

a = b·sen ɑ => sen ɑ = a/b

c = b·cos ɑ => cos ɑ = c/b

La expresión (1) se transforma en:

1 = sen² ɑ + cos² ɑ

Esta expresión nos permite calcular el sen de un ángulo ɑ cuando nos dan el coseno del mismo ángulo y viceversa.

Si ahora la expresión

b² = a² + c²

la dividimos por a², quedará:

b²/a² = a²/a² + c²/a²

(b/a)² = 1 + (c/a)² (2)

Recordando que:

sen ɑ = a/b => cosec ɑ = b/a

tg ɑ = a/c => cotg ɑ = c/a

La expresión (2) se transforma en:

cosec² ɑ = 1 + cotg² ɑ

Tomemos ahora la misma expresión:

b² = a² + c²

La dividimos en este caso por c², quedando:

b²/c² = a²/c² + c²/c²

(b/c)² = (a/c)² + 1 (3)

Recordando que:

cos ɑ = c/b => sec ɑ = b/c

tg ɑ = a/c

La expresión (3) se transforma en:

sec² ɑ = tg² ɑ + 1

Expresión que nos permite calcular el valor de la secante de un ángulo ɑ, conociendo el valor del tangente de ese mismo ángulo ɑ y viceversa.

Ejemplo

Si sen ɑ = 1/2, 𝝅/2 < ɑ < 𝝅, tenemos que calcular las restantes variables trigonométricas del ángulo ɑ.

Para realizar el ejercicio correctamente, lo primero que tenemos que hacer es saber en qué cuadrante está localizado el lado terminal del ángulo que nos dan. En este caso, nos dice el enunciado que el ángulo es mayor que 90º y menor que 180º, por tanto, nuestro lado terminal está localizado en el segundo cuadrante, y a la hora de realizar el ejercicio tendremos que tener en cuenta los signos que tienen las razones trigonométricas en este cuadrante.

Ahora tomamos la relación fundamental:

sen² ɑ + cos² ɑ = 1

(1/2)² + cos² ɑ = 1

1/4 + cos² ɑ = 1

Despejamos ahora cos² ɑ:

cos² ɑ = 1 - 1/4 = 3/4
cos ɑ = ±√(3/4) = ±√3/2

Como en nuestro caso, el ángulo tiene un coseno negativo, de las dos soluciones sólo tomamos la negativa.

Por otro lado, si:

sen ɑ = 1/2 => cosec ɑ = 2
cos ɑ = -√3/2 => -2/√3 = -2√3/3 (racionalizando)

Como

tg ɑ = sen ɑ/cos ɑ  = (1/2) ÷ (-√3/2) = -2/(2√3) = -1/√3 = -√3/3 (racionalizando)

Si

tg ɑ = -√3/3= > cotg ɑ = -3/√3 = -√3/3 (racionalizando)

Comentarios

Publicar un comentario

Puedes dejar tus comentarios, sugerencias o dudas.

Entradas populares de este blog

Cálculo de la característica y de la mantisa

 Cálculo de la característica Todo número está comprendido entre dos potencias; la característica será el exponente de la menor de las dos potencias. Por ejemplo, sea el número 73. 73 es menor que 100, pero mayor que 10. 10¹<73<10² La característica de 10 es 1 y su mantisa es 0. La característica de 100 es 2 y su mantisa es 0. El logaritmo de 73 no podrá llegar a 2 pero tendrá que ser mayor que 1. 1<log 73 <2 log73 = 1,.... Sea ahora el número 0,0007. En este caso, el número es mayor que 0,0001 y menor que 0,001 0,0001 < 0,0007 < 0,001 10 -4 <0,0007<10 -3 Nuestro número tendrá por tanto un logaritmo comprendido entre -4 y -3: -4 < log 0,0007<-3 log 0,0007 = -4..... La mantisa de un logaritmo es siempre positiva; por ello cuando la característica es negativa se señala colocando encima de ella un signo negativo: log 0,0007
Leer más

Fórmula de aproximación de Taylor

 Polinomios de Taylor Dado el polinomio P(x) de grado n y un x = x₀ queremos ordenarlo en potencias de (x-x₀). Es decir: P(x) = a₀ + a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)²+...+aₙ(x-x₀)ⁿ O sea, tenemos que calcular los coeficientes a₀, a₁, a₂,..., aₙ, pero no lo haremos aplicando las divisiones sucesivas de la Regla de Ruffini, sino por derivación . Los coeficientes se determinan del siguiente modo: P(x₀) = a₀ Derivamos el polinomio sucesivamente: P'(x) = a₁ + 2a₂·(x-x₀) + 3·a₃·(x-x₀)²+...+n·aₙ·(x-x₀) n-1 P''(x) = 2a₂ + 6a₃·(x-x₀) + ...+n(n-1)·aₙ·(x-x₀) n-2 .......................................................................................................... P (n (x) = n!·aₙ Si lo particularizamos en el punto x₀ tenemos: P'(x₀) = a₁ P''(x₀) = 2!·a₂ P'''(x₀) = 3!·a₃ ..............................................................................
Leer más

Formas de representar la recta (1)

 Tenemos varias formas de representar la recta: Forma normal Si en las ecuaciones paramétricas, explicadas en la entrada anterior , eliminamos 𝜌: (x-x₁)/p = (y - y₁)/q = (z - z₁)/r que es la ecuación normal o continua de la recta. Si lo referimos a ejes rectangulares: p = cos 𝛼, q = cos ꞵ, r = cos 𝛾 y por tanto: (x - x₁)/ cos 𝛼 = (y - y₁)/cos ꞵ = (z - z₁)/cos 𝛾 siendo 𝛼, ꞵ, 𝛾 los ángulos que forma la recta con los ejes coordenados. Tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales en el cual, si conocemos la razón común, 𝜌, obtendríamos las tres ecuaciones paramétricas que dan las coordenadas x, y, z de todos los puntos que pertenecen a la recta. Forma ordinaria Podemos definir la línea recta como la intersección de los dos planos proyectantes sobre los planos xz y yz. Tendremos entonces el sistema: x = az + h y = bz + k que es la forma ordinaria de la recta y que se ve que: (x - h)/a = z, así como (y - k)/b = z Luego: (x - h)/a = (y - k)/b = (z - 0)/1 que es la forma normal de la
Leer más