Razones de ángulos que difieren 180º

 Si dos ángulos, ɑ y β, tienen que cumplir que:

β = ɑ + 180º

Expresado en radianes

β = ɑ + 𝝅

Gráficamente, estos dos ángulos tendrán la forma:

Ángulos suplementarios

Para deducir sus razones trigonométricas, analizamos las simétricas existentes, utilizando los criterios de semejanza o igualdad de triángulos.

El seno del ángulo β será igual:

sen β = sen(ɑ + 180º) = -sen ɑ

Expresado en radianes:

sen β = sen (ɑ + 𝝅) = -sen ɑ

El coseno del ángulo β:

cos β = cos (ɑ + 180º)  = -cos ɑ

En radianes:

cos β = cos (ɑ + 𝝅) = -cos ɑ

La tangente del ángulo β se calcula mediante el cociente entre el seno y el coseno del ángulo, aplicando lo deducido anteriormente tenemos:

tg β = sen(ɑ + 180º)/cos(ɑ + 180º) = -sen ɑ/-cos ɑ = tg ɑ

En radianes:

tg β = sen(ɑ + 𝝅)/cos(ɑ + 𝝅) = tg ɑ

Resumiendo, podemos decir que si dos ángulos difieren en 180º, sus senos y cosenos son iguales en valor absoluto pero de signo contrario, y sus tangentes son iguales y del mismo signo.

Ejemplo

Conocidas las razones del ángulo de 60º, calcular las razones del ángulo β con el que difiere 180º.

β = 60º + 180º = 240º
  • sen β = sen 240º = -sen 60º = -√3/2
  • cos β = cos 240º = -cos 60º = -1/2
  • tg β = tg 60º = √3

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