Supermatemáticas a tu alcance

 Para poder representar  gráficamente una función, hay que tener en cuenta lo que voy a explicar en esta entrada y en las siguientes: Intervalos de existencia y regiones Los intervalos en que está definida una función se denominan intervalos de existencia o dominios. Cortes de ejes Podemos cortar el eje de ordenadas y nos sale un sistema, siendo y = f(x) y el punto en que la curva corta a dicho eje de ordenadas serán aquellos puntos en que x = 0 y al sustituir x = 0 en la función nos dará los valores de y. Para hallar los valores en los que la curva corta al eje x, hacemos y = 0, y hallamos los correspondientes valores de x. Ejemplo Hallar los puntos de corte de la curva:  y = x²-9 Hacemos x = 0: y = 9 (punto de corte con el eje OY) Para y = 0: x²-9 = 0; x²=9; x = ±3 (puntos de corte con el eje OX)

 Sea una función f(x) tal que: y = f(x) = f(a) + h·f'(a) + (1/2)·h²[f''(a + ƛh] y = f(a) + h·f'(a) es la ecuación de la tangente a f(x) en x = a. El error cometido viene dado por el término complementario, el cual mide exactamente la diferencia de ordenada entre la curva y = f(x) y la tangente. Si es f''(a) > 0 es T₁>0, a uno y otro lado del punto en un cierto entorno, la curva se conserva en él por encima de la tangente y se dice que la concavidad se dirige hacia las y positivas o concavidad. Si es f''(a)<0 y por tanto T₁<0, en un cierto entorno la curva está por debajo de la tangente y se dice que la concavidad se dirige hacia las y negativas o convexidad. Si T₁ tiene signos distintos a ambos lados del punto, se dice que es un punto de inflexión. La condición necesaria, pero no suficiente, para tal cambio de signo, es f''(a) = 0. En este caso, f''(a) = 0, no puede asegurarse nad

 Ejercicio 1 Hemos de fabricar en chapa galvanizada un recipiente cúbico para medir el agua caída de la lluvia. Dicho recipiente (abierto por la parte superior, por supuesto) tiene que tener una capacidad de 128 litros. ¿Cuáles son las dimensiones que debe tener dicho recipiente para que la superficie y el costo sean mínimos? Solución Sabemos que: S = 4ab + a² V = a²·b = 128 Despejando b: b = 128/a² Sustituyendo el valor de b en la expresión del área: S = 4a(128/a²) + a² = 512/a + a² Y el siguiente paso a realizar es igualar a 0 la primera derivada: S' = -512/a² + 2a = 0; 2a = 512/a²; a³ = 256 Despejando a obtenemos: a = ∛(256) = 4·∛4 Realizamos la derivada segunda, para comprobar si es máximo o mínimo: S'' = 1024/a³ + 2 = 1024/256 + 2 = 6 > 0 Mínimo Para hallar el valor de b, sustituimos a = 4·∛4 en la fórmula de la superficie y tendremos: b = 128/(32∛2) = 4/∛2 Por lo tanto, las dimensiones para el costo mínimo son: a = 4∛4, b = 4/∛2 Ejercicio 2 Tenemos que construir un

 Obtenidos los valores que anulan y'(x) se conoce si en cada uno alcanza la función máximo o mínimo o inflexión o no se presenta ningún caso de estos: Viendo como varía la función en el entorno de x₀. Estudiando la variación de la derivada primera. Hallando la derivada segunda cuando exista. Variación de la función Si para un h suficientemente pequeño f(x₀ + h) ≥ f(x₀) mínimo y si f(x₀ + h) ≤ f(x₀).  Variación de la derivada primera Si f(x) es continua y su derivada f'(x) pasa de positiva a negativa, es decir, si f'(x) > 0 a la izquierda de x₀ y es f'(x₀) < 0 a la derecha en un cierto entorno, la función f(x) tiene en x₀ un máximo relativo ; si la derivada pasa de negativa a positiva, la función en x₀ tiene un mínimo relativo . Mediante la derivada segunda y''(x₀) > 0 mínimo relativo y''(x₀) < 0 máximo relativo

 Los máximos relativos de una función son mayores que los otros valores de la misma en un cierto entorno cuya amplitud es distinta en cada caso, pero no deben confundirse con el máximo absoluto en [a, b]. En todo intervalo cerrado dada y(x) función continua, existe un máximo y un  mínimo absolutos. En cambio, pueden no existir máximos y mínimos relativos. Sin embargo, si el máximo o el mínimo absoluto lo alcanza una función en un punto interior al intervalo y no en los extremos ese valor también es máximo o mínimo relativo. La determinación de extremos absolutos se reduce al cálculo de los extremos relativos a condición de examinar además los valores y(a) e y(b) y los puntos donde no haya derivada. Discusión de máximos y mínimos Un método directo para calcular extremos es estudiar el crecimiento y decrecimiento . Pero también podemos hacerlo de esta otra forma (si la función es derivable): Máximos y mínimos de funciones derivables Si una función tiene en x₀ un máximo o mínimo relativo

 Se dice que y(x) es creciente en un punto x₀ cuando en un cierto entorno de x₀ se verifica que y(x₀) es mayor o igual que los valores de y(x) a la izquierda de x₀ y menor o igual que los valores de y(x) a la derecha de x₀. Si, por el contrario y(x₀) es menor o igual que los valores de y(x) a la izquierda y mayor o igual que los valores de y(x) a la derecha en un cierto entorno de x₀ diremos que esta función es decreciente en x₀. Si y(x₀) es igual o mayor que los valores de y(x) a la izquierda y a la derecha de x₀ se dice que y(x₀) es un máximo relativo de la función. Si y(x₀) es igual o menor que los valores a ambos lados de x₀, y(x₀) es un mínimo relativo. Cuando los signos ≤ (menor o igual) y ≥ (mayor o igual) sean < (menor) o > (mayor) diremos que el crecimiento, decrecimiento, máximo o mínimo son estrictos. Los máximos y mínimos reciben el nombre conjunto de extremos bien absolutos o relativos. Criterios Una función cuya derivada no se anula en el punto x₀ es creciente o de

 Estudiando el entorno de 0. Tomemos x₀ = 0, h = x en la fórmula de Taylor , con lo que: f(x) = f(0)+f'(0)·x + (f''(0)/2!)·x² + ...+(f (n /n!)·xⁿ

 Polinomios de Taylor Dado el polinomio P(x) de grado n y un x = x₀ queremos ordenarlo en potencias de (x-x₀). Es decir: P(x) = a₀ + a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)²+...+aₙ(x-x₀)ⁿ O sea, tenemos que calcular los coeficientes a₀, a₁, a₂,..., aₙ, pero no lo haremos aplicando las divisiones sucesivas de la Regla de Ruffini, sino por derivación . Los coeficientes se determinan del siguiente modo: P(x₀) = a₀ Derivamos el polinomio sucesivamente: P'(x) = a₁ + 2a₂·(x-x₀) + 3·a₃·(x-x₀)²+...+n·aₙ·(x-x₀) n-1 P''(x) = 2a₂ + 6a₃·(x-x₀) + ...+n(n-1)·aₙ·(x-x₀) n-2 .......................................................................................................... P (n (x) = n!·aₙ Si lo particularizamos en el punto x₀ tenemos: P'(x₀) = a₁ P''(x₀) = 2!·a₂ P'''(x₀) = 3!·a₃ ..............................................................................

 Algunos ejercicios sobre diferenciación de funciones: Ejercicio 1 Sea g(x) una función definida y diferenciable para x ≤ x₀. ¿Cómo elegir los coeficientes a, b, c para que la función F(x), la cual es: g(x) si x≤x₀ a(x-x₀)²+b(x-x₀)+c si x > x₀ sea diferenciable dos veces para x ∈ R? Solución Si x<x₀, d²F = d²g= g''(x) Si x>x₀, d²F = 2a F'(x₀) = lim (g(x) - g(x₀))/(x-x₀) = lim (a(x - x₀)² + b(x-x₀) + c -c)/(x-x₀) = g'(x₀)                  x→x₀⁺                                 x→x₀⁺ Como F(x) tiene que ser continua en x₀: lim g(x) = lim a(x-x₀)² + b(x-x₀) + c x→x₀        x→x₀ lim g(x) = c = g(x₀) x→x₀ Al ser continua g(x). Así pues, tenemos: g(x₀) = c g'(x₀) = b En cuanto a la segunda derivada: F''(x₀) = lim (g'(x) - g'(x₀))/(x - x₀) = lim  (2a(x-x₀) + b -b)/(x-x₀) = g''(x₀)                  x→x₀         

 Error absoluto El error absoluto es la diferencia en valor absoluto entre el verdadero valor V y el aproximado A: E = |V - A| En realidad, el valor de V no puede darse exactamente, sino sólo de modo aproximado dada la imperfección de los instrumentos de medida. Sin embargo, podemos conocer el límite o cota de error. Podemos tomar el valor dx de la diferencial de la función en un punto como un valor aproximado por exceso si es convexa o por defecto si es cóncava, suponiendo un dx suficientemente pequeño en comparación con x. Diferencial logarítmica de una función Llamamos diferencial logarítmica de una función y = f(x) a la diferencial de su logaritmo neperiano. Para calcularla, habrá que realizar dos pasos: Ln (y) = Ln (f(x)) dLn(y) = dLn(f(x)) Desarrollando las diferenciales: dLn(y) = DLn(y)·dx = (y'/y)·dx = dy/y d[Ln(f(x))] = D[Ln(f(x))]·dx = (f'(x)/f(x))·dx = df(x))/f(x) df(x)/f(x) = dy/y Error relativo de una función El error absoluto no nos da una idea clara de la aproxim

 Se sabe que los valores que hacen máximo o mínimo f(x) derivable deben buscarse entre las raíces de la ecuación f'(x) = 0 (aunque puede haber un entorno en un punto donde la función no sea derivable), Esto equivale a anular la diferencial: df = f'(x)·dx = 0 ya que como x es la variable independiente se tiene que: dx ≠0 Sin embargo, en el caso de una aplicación de función de función y = f(u), u = 𝛗(x), las condiciones yᵤ = 0 y dy = 0 no son equivalentes, se obtienen todos los extremos anulando la diferencial. El empleo de la condición df = 0 permite elegir entre una variable cualquiera. Ejemplo En una elipse, hallar dos diámetros conjugados cuya suma de longitudes sea máxima o mínima: Solución Se toma como variable la longitud ℓ de uno de los diámetros. El otro es ℓ' es tal que; ℓ²+ℓ'² = a² + b² y la cantidad a estudiar es: A = ℓ + √(a²+b²-ℓ²) Realizando la diferencial: dA = (1 - ℓ/√(a²+

 En las aplicaciones, se supondrá que las diferenciales son infinitésimas (cantidades suficientemente pequeñas) lo que conduce a decir que la diferencial (dy) es un infinitésimo equivalente al incremento (Δy) correspondiente al incremento dx de la variable. Es decir, Δy/dy→1 cuando dx→0 (menos en los puntos donde f'(x) = 0) ya que en estos casos la diferencial no representa la parte principal del incremento. En numerosas circunstancias podrá calcularse dy por medio de Δy con una aproximación de segundo orden, Ejemplo Sea una esfera de radio variable r. Vamos a calcular la diferencial dV de su volumen. Primer método El volumen de la esfera  es V = (4/3)𝜋r³. Si diferenciamos: dV = 4𝜋r²·dr Segundo método Sabemos que dV representa la parte principal del incremento de V. Si se considera un pequeño incremento de área 𝜎 de la esfera y el cono que tiene por vértice el centro de la esfera y cuyas generatrices se apoyan sobre el contorno de 𝜎, dicho cono limita una pequeña porción v de Δ

 La diferencial de una constante es cero. d(f+g) = df + dg d(k·f) = k·df (k es un número real cualquiera) d(f·g) = g·df + f·dg d(n·v·u) = v·u·dn + n·u·dv + n·v·du d(u/v) = (v·du -u·dv)/v² Como esta entrada ha sido muy corta, os voy a explicar otros aspectos de la diferencial:  Si f es derivable n veces y x es variable independiente, se pueden aplicar diferenciales sucesivas . La interpretación geométrica de la diferencial de una función en un punto representa el incremento correspondiente de la curva en dicho punto .

 Sea y = f(u), siendo u = 𝛗(x), la regla de derivación es dₓy/dx = (dᵤy/du)·(dₓy/dx) pero importa observar el diverso significado de las dos diferenciales de u que aquí figuran mientras du es un incremento arbitrario de u, dₓu designa una función de x y dx cuyo valor es 𝛗'(x)·dx, o sea, dy= f'(u)·𝛗'(x)·dx, Si en la igualdad multiplicamos por dx, tenemos: dₓy = f'(u)·dₓu, es decir, mientras que en una fórmula la derivada de una función y = f(u) se va complicando progresivamente a medida que aumenta el número de variables independientes intermedias y en cada caso es preciso tener en cuenta la variable que inmediatamente depende de la función considerada, la fórmula de la diferencial respecto de x de la función f = f(u) es siempre del mismo tipo: dy = f'(u)·du es igual a dy = f'(x)·dx 

 Si una función f es derivable en el punto a, podemos definir en dicho punto una aplicación de R en R de la forma que se sigue: Fijado a, a cada valor h se le hace corresponder el valor f'(a)·h; esta función se expresa df: df(a, h) = f'(a)·h. Cuando f es derivable en todo punto de un intervalo A ∈ R, entonces podemos definir igualmente: df(x, h) = f'(x)·h observa que df es una función de dos variables, que son x y h, y que mientras x ha de estar siempre en A, para h no hay limitación alguna. Ordinariamente, se escribe simplemente df = f'(x) · h; ahora bien, cuando pongamos f(x) = x tendremos df = dx = 1·h, de aquí que generalmente se escriba df = f'(x)·dx. Con el símbolo df o dy hemos designado el producto f'(x)·dx, siendo dx un incremento arbitrario de la variable dependiente x, Hay una diferencial fundamental de significado entre los símbolos dx y dy. Mientras dx es arbitrario, dy depende de la función f(x), del valo

 Seguimos con los ejercicios de derivación. Ejercicio 1 Hallar el valor de la derivada primera de las funciones: y = (3/4)x⁴-5x+15, para x = -1 y = √(2x²+14) para x=1 Solución y' = 3x³-5, x = -1, entonces: y' = -3-5 = -8 y' = 4x/(2·√(2x²+14)), x = 1, por lo que: y' = 4/8 = 1/2 Ejercicio 2 Calcular la derivada de las funciones: y = Ln(8x³+32) y = Ln[(x+2)²] Solución y' = 24x²/(8x³ + 32) = 3x²/(x³+4) y' = 2(x+2)/(x+2)² = 2/(x+2) Ejercicio 3 Calcular las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas: y = sen (x²) y = cos (8x) y = tg (5x) Solución y' = 2x·cos (x²) y' = -8·sen (8x) y' = 5·(1 + tg² (5x)) Si tenéis alguna duda a la hora de calcular derivadas, podéis repasar el tema aquí.

 Para entender mejor lo explicado en este tema de derivadas, vamos a realizar algunos ejercicios: Ejercicio 1 Hallar las derivadas de las siguientes funciones: y = -x⁵+3x⁴-5x³+6 y = 6x⁷-(4/5)·x⁵+7x⁴-5x Solución y' = -5x⁴ + 12x³-15x² y' = 42x⁶-4x⁴+28x³-5 Ejercicio 2 Hallar las derivadas de las siguientes funciones: y= (2x + 3)/(2x - 3) y = x³/(x - 4) Solución y' = [2·(2x+3)-2(2x+3)]/(2x-3)² = (4x-6-4x-6)/(2x-3)²=-12/(2x-3)² y'=[3x²·(x - 4) - x³·1]/(x-4)² = (3x³-12x²-x³)/(x-4)²= (2x³-12x²)/(x-4)² Ejercicio 3 Calcular las derivadas de las siguientes funciones; y=(x³-1)² y = (x²+1)⁴ + (x+2)³ Solución y' = 2·(x³-1)·(3x²) = 6x⁵-6x² y' = 4·(x²+1)³·2x + 3·(x+2)² = 8x(x²+1)³+3·(x+2)²

 Primera consideración La regla de L'Hopital es válida con la consideración de que en un cierto entorno del valor a no pueda anularse simultáneamente f'(x) y g'(x), excepto en el punto a, donde ambas pueden ser nulas o no existir. Tampoco puede anularse el denominador en un entorno reducido de a. Segunda consideración Que pueda existir el siguiente límite, cuando x tiende al valor a: lim f(x)/g(x)  y carecer de este otro límite (cuando x tiende al valor a): lim f'(x)/g'(x) Aplicaremos reiteradamente la regla de L'Hopital si en un punto a se anulan las derivadas primeras, segundas y así sucesivamente, pero no se anulan las enésimas, del numerador y denominador, siendo la de este último distinto de cero en un entorno de a y en un entorno reducido de a no se anulan simultáneamente la derivada del mismo orden, se verifica que  si existe el siguiente límite cuando x tiende al valor a: lim f n (x)/g n (x) exist

 La regla de L'Hopital, atribuida a Jean Bernoulli, es un sencillo corolario del teorema de Cauchy , Se utiliza para calcular límites indeterminados. Límites de la forma 0/0 Tenemos el límite, cuando x tiende al valor a: lim f(x)/g(x), tal que f(a) = lim f(x) = lim g(x) = g(a) = 0, siendo g(x) distinto de cero en un entorno reducido de a. Si f(x) y g(x) son continuas y con derivadas finitas no nulas simultáneamente en un entorno reducido de dicho punto y el cociente de derivadas tienen un límite finito o infinito para x→a se verifica: lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) Ejemplo Calcular el valor del límite cuando x tiende a cero de lim (1-cos x)/x²  Aplicando la regla de L'Hopital, cuando x tiende a 0: lim (sen x)/2x = (cos x) /2 = 1/2 Límites de la forma ∞/∞ La regla de L'Hopital también es válida para el caso en que las funciones f(x), g(x) tengan límites infinitos para x→a: lim f(x) = ∞ y lim g(x) = ∞ (cuand

 Si f(x) y g(x) son dos funciones continuas en [a, b] y derivables en  (a, b) siendo g(b) ≠ g(a), y no se anulan simultáneamente las derivadas en ningún punto intermedio y para ningún punto f'(x) = g'(x) = ∞, entonces existe al menos un punto interior para el que: (f(b) - f(a))/(g(b)-g(a)) = f'(ξ)/g'(ξ), siendo a <ξ<b NOTA: Observa que si g(x) = x se tiene el teorema de los incrementos finitos Demostración Si la función 𝛗 = g(x)·[f(b) - f(a)] - f(x)[g(b)-g(a) ], tal que: 𝛗(b) = 𝞅(a)=0, si aplicamos el teorema de Rolle; 𝛗'(ξ) = 0, con a<ξ<b Derivando 𝛗(x) tendremos: 𝛗'(x) = g'(x)[·[f(b)-f(a)] - f'(x)·[g(b)-g(a)] y para x = ξ 𝛗(ξ) = g'(ξ)[f(b) - f(a)]-f'(ξ)[g(b) - g(a)] = 0 luego f'( ξ)/g'( ξ) = (f(b) - f(a))/(g(b) - g(a)) ya que no puede ser nula g'( ξ). Generalización de la fórmula de Cauchy Si en el punto a se anulan f'(x) y g'(

 Si f(x) es una función de A en R definida y continua  en el intervalo cerrado A = [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b) existe al menos un punto ξ tal que: (f(b) - f(a))/(b-a) = f'(ξ) O lo que es lo mismo: f(b) - f(a) = (b-a)·f'(ξ) que se llama fórmula del incremento finito, que es lo que aplicamos en el cálculo infinitesimal, y expresa el valor de un incremento de la variable por el valor de la derivada en un punto intermedio. Si los extremos del intervalo son x, x + h, todo punto interior se puede representar por x + θh con 0 < θ < 1, el teorema nos da: f(x + h) - f(x) = h·f'(x + θh) con 0<θ<1 NOTA: si f(a) = f(b), tenemos el teorema de Rolle. Demostración Sea la función g(x) = f(x)·(b-a) + x·(f(a)-f(b)) + a·f(b) - b·f(a), que es continua en [a, b] y derivable en (a, b) al igual que f(x) y toma valores iguales a cero en los extremos del intervalo: g(a) = g(b) = 0 Por tanto, podemos aplicar el teorema de Rolle, o sea, existe un punto intermedio ξ t

Si una función f definida en un intervalo cerrado [a, b] ⊂ R es continua en [a, b] y derivable en (a, b) y además, f(a) = f(b), entonces existe un punto a <c<b tal que f'(c) = 0. Demostración Si una función es continua en un intervalo cerrado A = [a, b] entonces será acotada. Además, el extremo superior L de f(a) es accesible y existe c ∈ [a, b] tal que f(c) = L ≥ f(a) = f(b). Si fuera L = f(a), entonces ∀ x, f(x) = f(a), luego: ∀x, f'(x) = 0 con lo el teorema se cumple para infinitas c . Si L > f(a), vamos a ver que en el punto c ∈ (a, b) para el que f(c) = L se cumple f'(c) = 0. En efecto, por hipótesis existe f'(c), que es límite cuando x tiende a c de (f(x) -f(c))/(x-c), pues c ∈ (a, b); puesto que f(x) ≤ f(c) para todo x del intervalo. Por lo que tenemos: El límite cuando x tiende a c⁺ de ((f(x)-f(c))/(x-c) ≥ 0 El límite cuando x tiende a c⁻ de (f(x) - f(c))/(x-c) ≤0 luego ambos, por existir f&

 Cuando una función f definida en un intervalo A ⊂ R admite función derivada en el subconjunto A₁ ⊂ A, tiene sentido preguntarse si esta función f' es a su vez derivable en algún punto o más aún, en algún subintervalo de A₁. Si existe algún intervalo A₂ ⊂ A en el que existe la función derivada de f', la representamos por (f')' = f''; diremos que es la derivada segunda de la función f. Así, para A = R y f(x) = e x , f' = f''=ex; en cuanto a la función f(x) = Ln(x) definida en (0, ∞), tenemos en (0, ∞), f' = 1/x y f''(x) = -1/x², también definida en todo el intervalo (0, ∞). De modo análogo, se definen las derivadas de cualquier orden n natural, por recurrencia sobre n. Por ejemplo: f = e x , f = f )n (x) = e x para todo n natural. f (x) = sen(x), f (2n (x) = (-1)ⁿ·sen(x); f (2n+1 (x) = (-1)ⁿ·cos(x) De las propiedades de la derivación, deducimos inmediatamente: (f + g)

Muchos conceptos de Física y Química pueden expresarse mediante derivadas. Si un hecho físico puede representarse por una función, la derivada de esta función representará otros aspectos de dicho fenómeno . Así, por ejemplo, la velocidad, la aceleración...  El espacio recorrido por un móvil será una función del tiempo empleado en el recorrido. Si e = f(t) cuando haya transcurrido un incremento de t en el espacio se habrá cambiado en: Δe = f(t + Δ) - f(t) Se define como velocidad media el cociente: V m = Δe/Δt Si queremos hallar la velocidad instantánea pasaremos a límites (cuando t tienda a cero); v = de/dt Vemos que la velocidad instantánea es la derivada del espacio respecto al tiempo. Con la aceleración ocurre lo mismo, ya que la aceleración media podemos definirla; am = ΔV/Δt si queremos hallar la aceleración instantánea tomaremos los límites (cuando t tiende a 0): a = dV/dt = (d·(de/dt))/dt = d²e/dt² La aceleración

 Sean las funciones f, g f:A→R y g:B→R con f(A) ⊂ B; si f es derivable en a y g es derivable en f(a), entonces (f∘g) es derivable en el punto a y se verifica que (g∘f)'(a) = g'(f(a))·f'(a). Si en un intervalo A⊂R se tienen las condiciones anteriores, la función derivada (g∘f)'(x) es igual al producto g'(f(x))·f'(x). Si queréis la demostración, dejarlo en comentarios.

 Derivada de la función inversa del seno Sea la función y = arc sen u, para calcular su derivada tenemos en cuenta que: y = arc sen u, u = sen y Derivando u' = y'cos y Despejando y': y' = u'/(cos y) como cos  y = √(1-sen² y), sustituimos: y' = u'/(√(1 - sen²y) = u'/(√(1-u²) Ejemplo Calcular la derivada de la función: y = arc sen(5x²+8x) y' = (10x+8)/(√(1 - (5x²+8x)²) = (10x + 8)/√(1-(25x⁴+64x²+80x³)) = (10x+8)/√(1-25x⁴-64x²-80x³) Derivada de la función inversa del coseno Para derivar la función y = arc cos u partimos de que es la función inversa del coseno, por lo que: u = cos y derivando: u' = -y'·sen y Despejando y': y' = -u'/(sen y) = -u'/√(1-cos² y) = -u'/√(1 - u²) Ejemplo Calcular la derivada de la función: y = arc cos (3 2x+1 ) y' = -(2·3 2x+1 ·Ln(3))/√(1-(3 2x+1 )² = -(2·3 2x+1 )·Ln(3)/√(1-3 4x+2 ) Derivada de la función inversa de la