Ejercicios de máximos y mínimos

 Ejercicio 1

Hemos de fabricar en chapa galvanizada un recipiente cúbico para medir el agua caída de la lluvia. Dicho recipiente (abierto por la parte superior, por supuesto) tiene que tener una capacidad de 128 litros. ¿Cuáles son las dimensiones que debe tener dicho recipiente para que la superficie y el costo sean mínimos?

Solución

Sabemos que:

• S = 4ab + a²
• V = a²·b = 128

Despejando b:

b = 128/a²

Sustituyendo el valor de b en la expresión del área:

S = 4a(128/a²) + a² = 512/a + a²

Y el siguiente paso a realizar es igualar a 0 la primera derivada:

S' = -512/a² + 2a = 0; 2a = 512/a²; a³ = 256

Despejando a obtenemos:

a = ∛(256) = 4·∛4

Realizamos la derivada segunda, para comprobar si es máximo o mínimo:

S'' = 1024/a³ + 2 = 1024/256 + 2 = 6 > 0 Mínimo

Para hallar el valor de b, sustituimos a = 4·∛4 en la fórmula de la superficie y tendremos:

b = 128/(32∛2) = 4/∛2

Por lo tanto, las dimensiones para el costo mínimo son:

a = 4∛4, b = 4/∛2

Ejercicio 2

Tenemos que construir un marco para la puerta de 1 m² de luz. El marco de dicha puerta vale 900 euros por metro de altura y 1000 euros por metro de anchura. ¿Qué dimensiones tendrá el marco para que salga lo más económico posible?

Solución

• C = 900a + 1000b
• a·b = 1 → b = 1/a

C = 900a + 1000·(1/a) = 900a + 1000/a

Derivando:

C' = 900 - 1000/a²

Igualando a 0 la derivada:

900 - 1000/a² = 0; 900a² = 1000; a² = 1000/900 = 1,11

Por lo que:

a = √(1,11) = 1,054 m (aprox.)

Realizamos la segunda derivada, para comprobar si es máximo o mínimo:

C'' = 1000/a³>0 Mínimo

Ahora hallamos el valor de b:

b = 1/a = 1/(1,054) = 0,948 m (aprox.)