Crecimiento y decrecimiento en un punto

 Se dice que y(x) es creciente en un punto x₀ cuando en un cierto entorno de x₀ se verifica que y(x₀) es mayor o igual que los valores de y(x) a la izquierda de x₀ y menor o igual que los valores de y(x) a la derecha de x₀.

Si, por el contrario y(x₀) es menor o igual que los valores de y(x) a la izquierda y mayor o igual que los valores de y(x) a la derecha en un cierto entorno de x₀ diremos que esta función es decreciente en x₀.

Si y(x₀) es igual o mayor que los valores de y(x) a la izquierda y a la derecha de x₀ se dice que y(x₀) es un máximo relativo de la función. Si y(x₀) es igual o menor que los valores a ambos lados de x₀, y(x₀) es un mínimo relativo.

Cuando los signos ≤ (menor o igual) y ≥ (mayor o igual) sean < (menor) o > (mayor) diremos que el crecimiento, decrecimiento, máximo o mínimo son estrictos. Los máximos y mínimos reciben el nombre conjunto de extremos bien absolutos o relativos.

Criterios

Una función cuya derivada no se anula en el punto x₀ es creciente o decreciente en el sentido estricto de que la derivada sea positiva o negativa. Tomemos el siguiente límite, cuando x tiende a ∞:

y' = lim (f(x) - f(x₀))/(x - x₀)

                                                  

La función es creciente si y'>0. La función es decreciente si y'<0.

La condición y'(x₀)>0 es suficiente para asegurar el crecimiento de una función, aunque la función derivada sea discontinua y tome valores negativos y nulos en todo entorno de x₀.