Máximos y mínimos

 Los máximos relativos de una función son mayores que los otros valores de la misma en un cierto entorno cuya amplitud es distinta en cada caso, pero no deben confundirse con el máximo absoluto en [a, b].

En todo intervalo cerrado dada y(x) función continua, existe un máximo y un  mínimo absolutos. En cambio, pueden no existir máximos y mínimos relativos. Sin embargo, si el máximo o el mínimo absoluto lo alcanza una función en un punto interior al intervalo y no en los extremos ese valor también es máximo o mínimo relativo.

La determinación de extremos absolutos se reduce al cálculo de los extremos relativos a condición de examinar además los valores y(a) e y(b) y los puntos donde no haya derivada.

Discusión de máximos y mínimos

Un método directo para calcular extremos es estudiar el crecimiento y decrecimiento. Pero también podemos hacerlo de esta otra forma (si la función es derivable):

Máximos y mínimos de funciones derivables

Si una función tiene en x₀ un máximo o mínimo relativo y la derivada en este punto x₀ existe y es finita, debe ser nula, puesto que si fuera positiva o negativa, la función sería creciente o decreciente en x₀.

Si una función y(x) admite derivada finita en el punto x₀ es condición necesaria para que tenga un máximo o mínimo relativo que sea y'(x₀) = 0.

Que esta condición de anulación de la derivada no es suficiente para la existencia de máximo o mínimo se ve por ejemplo en la función y = x³, cuya derivada y' = 3x² se anula en x = 0 y sin embargo, es creciente en él.

La condición y'(x₀) = 0 se refiere sólo a las funciones que admitan derivada única y finita en dicho punto. Si la derivada es +∞ ya hemos visto que es creciente, y si es -∞ decreciente. Si es +∞ por la izquierda y -∞ por la derecha, hay un máximo relativo, y en caso contrario mínimo relativo. Puede suceder que y(x) sea máximo o mínimo en algún punto donde no tenga derivada y sea necesario aplicar el método general.