Aproximación lineal

 Sea una función f(x) tal que:

y = f(x) = f(a) + h·f'(a) + (1/2)·h²[f''(a + ƛh]

y = f(a) + h·f'(a) es la ecuación de la tangente a f(x) en x = a.

El error cometido viene dado por el término complementario, el cual mide exactamente la diferencia de ordenada entre la curva y = f(x) y la tangente.

Si es f''(a) > 0 es T₁>0, a uno y otro lado del punto en un cierto entorno, la curva se conserva en él por encima de la tangente y se dice que la concavidad se dirige hacia las y positivas o concavidad.

Si es f''(a)<0 y por tanto T₁<0, en un cierto entorno la curva está por debajo de la tangente y se dice que la concavidad se dirige hacia las y negativas o convexidad.

Si T₁ tiene signos distintos a ambos lados del punto, se dice que es un punto de inflexión.

La condición necesaria, pero no suficiente, para tal cambio de signo, es f''(a) = 0.

En este caso, f''(a) = 0, no puede asegurarse nada a priori respecto del signo del término complementario que da la posición de la curva en relación a la tangente. Cuando no es fácil estudiar el cambio de signo, extendemos el desarrollo de Taylor hasta llegar a una derivada f⁽ⁿ(a) que no se anule en el punto considerado.

El error o diferencia de ordenadas entre la curva y la recta tangente viene expresada por el término de grado n, el cual cambia o no de signo en el entorno de a según sea n impar o par.

En el primer caso, la curva queda atravesada por la tangente y es un punto de inflexión, en el segundo caso la curva queda a un lado de la tangente por encima o por debajo de ella, según f⁽ⁿ(a) sea positivo o negativo.

La curva presenta una inflexión en un punto o queda en un cierto punto a un mismo lado de la tangente según que la primera derivada no nula de orden superior sea de orden par o impar.

En este último caso, la concavidad de la curva se dirige hacia las y positivas o negativas, según que el signo de la derivada no nula sea positivo o negativo.