Fórmula de aproximación de Taylor

 Polinomios de Taylor

Dado el polinomio P(x) de grado n y un x = x₀ queremos ordenarlo en potencias de (x-x₀). Es decir:

P(x) = a₀ + a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)²+...+aₙ(x-x₀)ⁿ

O sea, tenemos que calcular los coeficientes a₀, a₁, a₂,..., aₙ, pero no lo haremos aplicando las divisiones sucesivas de la Regla de Ruffini, sino por derivación.

Los coeficientes se determinan del siguiente modo:

P(x₀) = a₀

Derivamos el polinomio sucesivamente:

• P'(x) = a₁ + 2a₂·(x-x₀) + 3·a₃·(x-x₀)²+...+n·aₙ·(x-x₀)^n-1
• P''(x) = 2a₂ + 6a₃·(x-x₀) + ...+n(n-1)·aₙ·(x-x₀)^n-2

..........................................................................................................

• P⁽ⁿ(x) = n!·aₙ

Si lo particularizamos en el punto x₀ tenemos:

• P'(x₀) = a₁
• P''(x₀) = 2!·a₂
• P'''(x₀) = 3!·a₃

............................................................................................................

• P⁽ⁿ(x₀) = n!·aₙ

Despejando en cada una de las expresiones, tendremos los coeficientes:

• a₁ = P'(x₀)
• a₂ = P''(x₀)/2!
• a₃=P'''(x₀)/3!

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• aₙ = P⁽ⁿ(x₀)/n!

Entonces podemos escribir el polinomio P(x) en función de las derivadas en el punto x₀ y potencias de (x - x₀). O sea:

P(x) = P(x₀) + P'(x₀)·(x-x₀) + (P''(x₀)/2!)·(x-x₀)²+...+(Pⁿ(x-x₀)/n!)·(x-x₀)ⁿ

Para una función f(x) que es n veces derivable en x₀, llamamos polinomio de Taylor:

f(x) = f(x₀) + f'(x₀)·(x-x₀) + (f''(x-x₀)/2!)·(x-x₀)²+...+(f⁽ⁿ(x₀)/n!)·(x-x₀)ⁿ

Fórmula de aproximación de Taylor

Consideremos la función f(x) n veces derivable en x₀ donde f⁽ⁿ⁺¹ ≠ 0, expresamos el polinomio de Taylor para dicha función en ese punto:

f(x) = f(x₀) + f'(x₀)·(x-x₀) + (f''(x₀)/2!)·(x-x₀)² + ... + (f⁽ⁿ(x₀)/n!)·(x-x₀)ⁿ

Si tenemos un punto b que pertenece a un entorno E(x₀) calculamos Tₙ, que es el error f(b) - fₙ(b). Sustituimos x₀ por x:

Tₙ = f(b) - f(x) - [f'(x)·(b-x)+(f''(x)/2!)·(b-x)²+...+(f⁽ⁿ(x)/n!)·(b-x)ⁿ]

Por lo tanto, derivando el término complementario:

T'ₙ(x) = (-(b-x)ⁿ/n!)·f(n+1(x)

Si tenemos la función g(x) = (b-x)ⁿ⁺¹ y Tₙ(x), podemos aplicar Cauchy en el intervalo (x, b) ya que se anulan los extremos del intervalo:

(Tₙ(b) - Tₙ(x))/(g(b)-g(x)) = -T'(𝛼)/g'(𝛼),  x<𝛼<b