Supermatemáticas a tu alcance

 Se usan muy poco. Un punto P viene definido por sus distancias m, n, p a tres rectas que forman un triángulo escribiéndose P(m, n, p). Es evidente que existe una relación entre las tres, la que resulta de expresar el área del triángulo: am + bn + cp = 2S (S es el área del triángulo ABC) NOTA: Una vez comprendido el problema, mediante el croquis previo, es conveniente pensar en cual de los dos sistemas más usuales, cartesiano o polar, se va a emprender la solución del mismo. Para ello, conviene tener en cuenta como se expresan cada una de las condiciones geométricas del enunciado en ellos y decidir en consecuencia. Se sabe que la distancia a un punto se expresa muy bien en polares, la distancia a una recta mejor en cartesianas, los ángulos constantes mejor en polares...

 Se ha visto que Ax + By + C = 0 es la ecuación de una recta cualquiera. Si esta recta no pasase por el origen, haciendo A/C = u, B/C = v, obtendremos ux + vy + 1 = 0 (1). Es decir, que el par (u, v) o la terna (A, B, C) en homogéneas, definiría a la recta. Por esto se dice que la recta tiene por coordenadas (u, v). Correlativamente, el punto tendrá ecuación y será mu + nv + p = 0 (2) que no es más que la relación entre las coordenadas de rectas que pasan por él. En particular pasan las u₂ = 0, v₂ = u₁ = -p/m, v₁ = 0, cuyas ecuaciones serían: (-p/m)·x + 1 = 0 (-p/n)·y + 1 = 0 que se cortan en el punto (m, n, p) (3), que se asocia a la ecuación (2) y resulta fácil el paso de cartesianas a pluckerianas (y viceversa). El plano, en estas coordenadas, viene como un conjunto de rectas y las líneas como conjuntos de sus tangentes, en contraposición al plano como conjunto de puntos y línea como conjunto de puntos que verifica su ecuación cartesiana.

  Paso a cartesianos: 𝛉 = arctg(±y/x) r = a·[(sen 𝛉')/sen(𝛉 + 𝛉')] 𝛉' = arctg(±y/(a-x)) r' = a·[sen 𝛉/sen(𝛉 + 𝛉')] Paso a polares: 𝛉 = ⍵ 𝙥 = a·[sen 𝛉/sen(𝛉 + 𝛉')] Ejemplo ¿Qué representa en coordenadas angulares (𝛉 - 𝛉') = 7? tg 𝛉 = y/x, tg 𝛉' = y/(a - x) Por lo tanto: tg (𝛉 -𝛉') = (tg 𝛉 - tg 𝛉')/(1 + tg 𝛉·tg 𝛉') Desarrollando: tg(𝛉 - 𝛉') = (y/x + y/(a - x))/(1 + y²/x(a-x)) = y[(a - 2x)/x(a-x)]/[(x(a-x) + y²)/(x(a-x))] = y(a-2x)/(x(a-x)+y²) = K Tenemos entonces ya - 2yx = Kax - Kx² + Ky², por lo que: -Kx²+Ky²-2yx+Kax-ay = 0 Se trata de una hipérbola equilátera. Puedes intentar hacer lo mismo con (𝛉 + 𝛉') = 7

  Para pasar a cartesianos: r = √(x² + y²) r' = √[(a - x)² + y²] Para pasar a polares: r = 𝙥 r'² = 𝙥² + a² - 2𝙥a·cos ⍵

 Sea un sistema de referencia ortonormal  en el plano y consideremos un punto P(x, y) distinto del origen (0, 0). Este punto puede representarse por la distancia del punto al origen de coordenadas (0, 0) llamando a dicha distancia 𝙥 y por el ángulo que forma el vector OP con el eje de abscisas. al punto O se le llama polo y al eje OX eje polar. Por otro lado, dado el par (𝙥, φ) queda determinado P y por lo tanto, hay que restringir el intervalo de variación de φ para [0, 2𝜋]. El cambio de eje polar viene dado por la ecuación: ⍵ = 𝛼 + ⍵₁ La traslación del eje polar: 𝙥² = h ² + d² - 2 𝙥₁·d cos(𝜋 - 𝛼 + ⍵₁) 𝙥² = h ² + d² - 2 𝙥₁·d cos( ⍵₁ -   𝛼 ) Podemos deducir a través de la trigonometría: h/d = sen(𝛼-⍵)/sen(⍵-⍵₁) Aplicando las correspondientes propiedades trigonométricas : h/d = (sen  𝛼 · cos  ⍵ - cos  𝛼 ·sen  ⍵)/(sen  ⍵ cos  ⍵₁ - cos  ⍵ sen  ⍵₁) Simplificando: h/d = (sen 𝛼

 Ahora, el cambio en el origen: x = a + x', y = b + y', z = c + z' Cambios de la dirección de los ejes b = (cos 𝝰', cos 𝝱', cos 𝜸') a = (cos 𝝰, cos 𝝱, cos 𝜸) a·b = cos 𝛉 = cos 𝝰 · cos 𝝰' + cos 𝝱·cos 𝝱' + cos 𝜸·cos 𝜸' 𝛉 = 90º; cos 𝝰 · cos 𝝰' + cos 𝝱·cos 𝝱' + cos 𝜸·cos 𝜸' = 0 𝛉 = 0; cos² 𝝰 + cos² 𝝱 + cos² 𝜸 Si no son rectangulares ninguna Tras realizar las proyecciones sobre el eje x, tenemos: x + y·cos ƛ + z·cos 𝞵 x'·cos 𝝰₁ + y'·cos 𝝰₂ + z'·cos 𝝰₃ al igual proyectado sobre eje y, sobre el z: x + y·cos ƛ + z·cos 𝞵 =  x'·cos 𝝰₁ + y'·cos 𝝰₂ + z'·cos 𝝰₃ x·cos 𝝀 + y + z·cos 𝘷 = x'·cos 𝝱₁ + y'·cos 𝝱₂ + z'·cos 𝝱₃ x·cos 𝛍 + y·cos 𝘷 + z = x'·cos 𝜸₁ + y'·cos 𝜸₂ + z'·cos 𝜸₃ Los nombres pueden decidirlos tú. Si tenéis alguna duda sobre como realizar proyecciones, podéis consultar este enlace de otro de mis blogs. Si son primitivos los ejes rectangulares x = x

  En el plano Cambio de origen: x = a + x' y = b + y' Teniendo esto en cuenta, ya podemos calcular las coordenadas según los casos. Ejes cualquiera Tras realizar las proyecciones y trigonometría correspondientes: x·sen 𝛉 = x'·sen(𝛉 - 𝝰) + y'·sen(𝛉 - 𝝱) x = x'(sen(𝛉−𝛂))/sen 𝛉 + y'(sen(𝛉−𝝱))/sen 𝛉 cos(90 + 𝛉) = x'cos(90 + 𝝰) + y'·cos(90 + 𝝱) y = x'·(sen 𝝰/sen 𝛉) + y'·(sen 𝝱/sen 𝛉) x = x'(sen(𝛉 - 𝝰)/sen 𝛉) + y'(sen(𝛉 - 𝝱)/sen 𝛉) Si el primer sistema es rectangular y el segundo no lo es 𝛉 = 𝝿/2 x = x'·cos 𝝰 + y'·cos 𝝱 y = x'·sen 𝝰  + y´·sen 𝝱 Si los dos rectangulares 𝛉 = 𝛑/2, 𝝱 - 𝝰 = 𝝿/2 x = x'·cos 𝝰 - y'·sen 𝝰 y = x'·sen 𝝰  + y´·cos 𝝰 Cambio general con ejes rectangulares x = x'·cos 𝝰 - y'·sen 𝝰 + a y = x'·sen 𝝰 + y'·cos 𝝰 + b

 En coordenadas cartesianas, todos los puntos del plano, excepto los del infinito tienen el mismo tratamiento. Para incorporar estos últimos al tratamiento común se utilizan las coordenadas homogéneas . Sean (x, y) las coordenadas absolutas de un punto P. Si escribimos x = X/T, y = Y/T, la terna (X, Y, T) se llama coordenadas homogéneas de P. Ahora, a cada terna corresponde un punto y a este le corresponden infinitas ternas, pues si (X₁, Y₁, T₁) verifica, también verifica (KX₁, KY₁, KT₁) ∀ K ≠ 0. De esta forma, cualquier terna con T = 0 representa un punto impropio (del infinito) y T = 0 es precisamente la ecuación de la recta impropia. En definitiva, tratamos el infinito con el cero. Ejemplos (1, 0, 0) punto impropio de 0X. (0, 1, 0) punto impropio de 0Y. (1, m, 0) punto impropio de y = mx. En las curvas algebraicas, cortando por T = 0 se obtienen los puntos del infinito x²y³(2x - y)(x²-y²) + x³ + y² + 1 = 0 en homogéneas sería:

 En ocasiones, las coordenadas de un punto vienen dadas en función de una tercera variable (parámetro). x = f(t) y = g(t) pudiéndose pasar a la forma implícita sin más que eliminar el parámetro, si esto es posible. Se dice que se tienen las ecuaciones de la línea en paramétricas. Aunque se puede eliminar el parámetro, puede convenir realizar un estudio y representación partiendo precisamente de las ecuaciones paramétricas. Por otra parte, hay que tener en cuenta que al eliminar el parámetro puede haberse introducido un nuevo arco de curva, por ejemplo, si: x = t² y = t⁴ Esta curva, para todo número t real, se ve que se encuentra en el primer cuadrante, mientras que si se elimina el parámetro, se obtiene una parábola situada en el primer y cuarto cuadrante y = x². Este problema se da con cierta frecuencia en las curvas dadas en paramétricas da lugar a lo que se conoce como representación impropia. El problema inverso, consistente en pasar a p

 Para el estudio de curvas y superficies ya sea en el plano o en el espacio, necesitamos unos sistemas de referencia en base a los cuales podremos expresar dichas curvas y superficies. En cualquier sistema considerado, cuando puede expresarse una de las variables como función de la otra se dice que está en forma explícita y = f(x). Por ejemplo: x = a + cos y. Cualquiera de las ecuaciones anteriores puede escribirse en un solo miembro: a + cos y - x = 0 diciéndose que están en forma implícita. Pero esto último es más general, pudiendo tener una ecuación f(x, y) = 0 de forma que no se pueda despejar una variable en función de otra. Tales ecuaciones, en determinadas condiciones, definen una función, por ejemplo: y = 𝜎 (x) tal que f(x, 𝜎 (x)) ∀ x ∈ E(x₀, y₀) tal que (x₀, y₀) = 0. Se dice que se tiene la función en forma implícita. No siempre es posible lo anterior, e incluso hay expresiones f(x, y) = 0 que no se cumplen para ningún número real. Por

 Ejercicio 1 Tenemos que escribir los primeros términos de una sucesión que tenga 4 puntos de acumulación. ¿Tendrá límite esta sucesión? Solución Podemos encontrar infinitas sucesiones con 4 puntos de acumulación, una de las cuales será: 0,1,2,3, 0,1,2,3,0,1,2,3 ... Los puntos de acumulación en este caso serán: 0, 1, 2, 3. Esta sucesión no tiene límite, ya que toda sucesión con más de un punto de acumulación no tiene límite, pues este debe ser único. Ejercicio 2 Calcular cuántos puntos de acumulación tiene la sucesión: aₙ = (-1)ⁿ·(1 + 1/n)ⁿ Solución Distinguimos entre los términos pares e impares. Cuando n es un número par se verifica que aₙ = (1 + 1/n)ⁿ. Si calculamos el límite cuando n tiende a infinito, vemos que es el número e. Si n es un número impar, tenemos que aₙ = -(1 + 1/n)ⁿ. Si calculamos el límite cuando n tiene a infinito, obtenemos -e. Por tanto, la sucesión aₙ tiene dos puntos de acumulación, que son e y -e. Luego esta sucesión no tendrá límite. Ejercicio 3 Encontrar dos

 Ejercicio 1 Escribir los seis primeros términos de la sucesión dada por: a 2n = (aₙ-1)/2 - 2aₙ y a 2n-1 = a n-1 +4 para n = 2, 3, 4..., siendo a₁ = 1, a₂ = 2. Solución Una vez conocidos los dos primeros términos vamos a calcular los demás  a partir de estos: para n = 2, obtenemos los términos n=3 y n=4: a₃ = a₁ + 4 = 5 a₄ = a₁/2 - 2·a₂ = 1/2 -4 = -7/2 Para n = 3, obtenemos los términos a₅ y a₆: a₅ = a₂ + 4 = 6 a₆ = a₂/2 - 2a₄ = 1 - 10 = -9 Nos quedará: 1, 2, 5, -7/2, 6, -9 ... Ejercicio 2 Tenemos que calcular el término general de la sucesión cuyos primeros términos son: 0, 3/10, 8/29, 15/66, 24/127,... Solución Observando los términos de la sucesión a partir del segundo se verifica que: a₂=(4-1)/(8+2), a₃=(9-1)/(27+2), a₄=(16-1)/(64+2), a₅=(25-1)/(125+2) Entonces se verifica que el término general de la sucesión será:

 Sabemos que la serie armónica es divergente. Vamos a calcular la suma de sus n primeros términos y conocer el índice de infinitud. La sucesión (1+1/n)ⁿ es estrictamente creciente y sabemos que su límite, cuando n tiende a infinito, es el número e, luego e > (1 + 1/n)ⁿ y tomando logaritmos neperianos: 1 > n·Ln(1 + 1/n) Por lo tanto: 1/n > [Ln(n+1)/n] Por otra parte, sabemos que el límite de (1 - 1/n)ⁿ cuando n tiende a infinito es 1/e, por lo que 1/e >(1 - 1/n)ⁿ. Tomando logaritmos tenemos: Ln(1/e)>n·Ln[(n-1)/n] Operando con logaritmos: -1/n >Ln[(n-1)/n] Luego: 1/n>(Ln(n+1)-Ln(n)) Por otra parte: 1/n <Ln(n/(n-1) y 1/(n+1)<Ln[(n+1)/n] = Ln(n+1) - Ln(n) Luego: 1/(n+1)<Ln(n+1) - Ln(n)<1/n 1/n<Ln(n) - Ln(n-1)<1/(n-1) 1/(n-1)<Ln(n-1) - Ln(n-2)<1/(n-2) 1/2<Ln2 - Ln1<1 Sumando tendremos: 1/(n+1) + 1/n + 1/(n-1) + ... + 1/2<Ln(n+1)<1/n + 1/(n-1) + ... + 1 H n+1 - 1<Ln(n+1)<Hₙ Hₙ<Ln(n

 Serie geométrica Es el ejemplo más sencillo: 1 + a +a² + a³ + a⁴ + .... su término enésimo: Sₙ = 1 + a + a² + a³ + ... + a n-1 = (a n -1)/(a-1) Calcularemos su límite para calcular su convergencia, cuando n tiende a infinito: |a| < 1; lim aⁿ = 0 lim Sₙ = 1/(1 - a) ==> es una serie convergente y la suma es 1/(1 - a) Para |a|>1, aⁿ crece indefinidamente y Sₙ crece indefinidamente, la serie es divergente. Para |a| = 1, la serie es oscilante: 1, -1, 1, -1,... Serie armónica Otro ejemplo muy importante es la llamada serie armónica Hₙ donde cada término es medio armónico entre los dos contiguos: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/n + ... Si consideramos la siguiente comparación: 1≥1 1/2 ≥1/2 1/3≥1/4 1/4≥1/4 2·1/4 = 1/2 1/5≥1/8 1/6≥1/8 1/7≥1/8 1/8≥1

 Sea {aₙ} una sucesión de números reales o complejos, podemos constituir otra sucesión de la manera siguiente: {Sₙ}: S₁ = a₁ S₂ = a₁ + a₂ S₃ = a₁ + a₂ + a₃ .... Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ Al par ({aₙ}, {Sₙ}) le llamaremos serie, a los elementos de la sucesión {aₙ} les llamaremos términos y a los elementos de {Sₙ} les llamaremos sumas parciales, siendo Sₙ la suma parcial enésima. Queda entonces establecido el algoritmo indefinido como toda operación de las operaciones elementales con la operación de pasar al límite. La ley para formar cada término de la serie viene dada por una función arbitraria definida de modo que cada término se deduzca de los anteriores o bien en función de su índice. Las series, como sucesiones que son, puede ser convergentes, divergentes u oscilantes, siendo la suma de la serie: Si el límite de Sₙ cuando n tiende a infinito pertenece a R: CONVERGENTE Si el límite de Sₙ, cuando n tiende a infinito es ±∞: DIVE

 Sea f:I→R donde I es un intervalo de R. Una sucesión uₙ está definida por u₀ ∈ E y la relación de recurrencia un+1 = f(uₙ). La función será supuestamente continua. Si la sucesión es convergente al límite ℓ, entonces: ℓ = lim(u n+1 ) = lim f(uₙ) = f(ℓ) Habrá que buscar las soluciones de esta ecuación y verificar que la sucesión uₙ converge o no hacia un número I. Esta verificación se hará en dos casos: f es creciente en I, entonces la sucesión es monótona si f(u₀) = u₁ > u₀ se tiene por recurrencia. Si f(u₀) = u₁ < u₀, la sucesión al contrario es decreciente. El problema es encontrar un mayorante o minorante que será en general el límite ℓ. f es decreciente en I: la función compuesta f⭘f es creciente y las sucesiones u 2n y u 2n+1 son una creciente y la otra decreciente. Si son convergentes sus límites pueden ser iguales y su límite común es el uₙ, pero también pueden ser distintos y la sucesión uₙ no converge sino

 Recuerda estas fórmulas, te pueden resultar útiles: 1 + 2 +3+...+n = (n+1)n/2 1²+2²+3²+...+n² = n(n+1)(2n+1)/6 1³+2³+3³+...+n³ = n²(n+1)²/4 1 + 3 + 5 + ...+(2n - 1) = n²

 Criterio de Stolz Sean {aₙ} y {bₙ} tales que cumplan al menos una de las siguientes condiciones. lim aₙ = lim bₙ = 0 lim aₙ = lim bₙ = ∞ {bₙ} es monótona a partir de un cierto lugar y el límite de bₙ cuando n tiende a infinito es ∞. Entonces se cumple que: si existe el límite cuando n tiende a infinito de (a n - a n-1 )/(b n -b n-1 ), existe el límite cuando n tiende a infinito de aₙ/bₙ, y ambos coinciden. Criterio de la media aritmética Sea {aₙ} una sucesión convergente a a. Entonces la sucesión {bₙ} cuyo término general es bₙ = (a₁ + a₂ + ... + aₙ)/n  tiene como límite a. Criterio de la media geométrica Si el límite de una sucesión aₙ cuando n tiende a infinito es a, entonces el límite cuando n tiende a infinito de su media geométrica, es decir: (a₁·a₂·...·aₙ) 1/n es igual a a . Criterio de la raíz El límite cuando n tiende a infinito de la raíz enésima de una sucesión

 Ahora vamos a ver el siguiente caso: Si K es un número real no nulo, se verifica que K⁰ = 1. Ejemplo Vamos a calcular el límite de la sucesión aₙ = [(2n+1)/(3n+2)] 1/n Calculando el límite de la base y del exponente, cuando n tiende a infinito: lim (2n + 1)/(3n + 2) = 2/3 (grado del numerador igual al grado del denominador, por lo tanto el valor del límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado) lim 1/n = 0 (grado del denominador mayor que el grado del numerador. Se trata de un infinitésimo). Por lo tanto, el cálculo del límite cuando n tiende a infinito es: lim aₙ = (2/3)⁰= 1 Para calcular este tipo de límites (los límites infinitos) ten en cuenta: Los infinitésimos. Álgebra de límites

 Ahora vamos a ver ejemplos del siguiente caso: (+∞) +∞ = +∞ (+∞) -∞ = 0 Ejemplo Vamos a calcular el límite de la sucesión cuando n tiende a infinito: aₙ = [(3n²+2)/n] n/2 Calculamos el límite de la base y del exponente, cuando n tiende a infinito: lim (3n² + 2)/n = +∞ (grado del numerador mayor que el grado del denominador). lim n/2 = +∞ (grado del numerador mayor que el grado del denominador). Por lo tanto, el límite de aₙ es +∞. Ahora vamos a ver ejemplos del siguiente caso: Si K es un número real positivo se verifica que: (+∞) K = +∞ (+∞) -K = 0 Ejemplo Vamos a calcular el límite de la sucesión: aₙ = √[(n²-1)/(n+2)] Ponemos la raíz en forma de potencia: aₙ =  [(n²-1)/(n+2)] 1/2 Calculamos el límite de la base, cuando n tiende a infinito: lim  (n²-1)/(n+2) = +∞ (grado del numerador mayor que el grado del denominador). Por lo tanto, el límite de aₙ cuando n tiende a infinito es +∞.

 Seguimos con los el cálculo de límites. Ahora vamos a calcular el caso en el que: si K es un número real se verifica que: +K/∞ = 0 y -K/∞ = 0 Ejemplo Dadas las sucesiones aₙ = 3n²/(n² + 2) y bₙ = (n²+3n-1)/(3n + 2), tenemos que calcular el límite del cociente cuando n tiende a infinito. Calculamos los límites por separado, cuando n tiende a infinito: lim aₙ = lim 3n²/(n²+2) = 3 (grado del numerador es igual al grado del denominador, el límite es igual al cociente de los coeficientes de mayor grado). lim bₙ = lim (n²+3n -1)/(3n +2) = +∞ (grado del numerador mayor que el grado del denominador). Por lo tanto, cuando n tiende a infinito: lim aₙ/bₙ = lim [3n²/(n²+2)]/[(n²+3n-1)/(3n + 2)] = lim (9n³ + 6n²)/(n⁴+3n³+2n²+4n-3) = 0 (grado del denominador, mayor que el grado del numerador). Ahora vamos a tratar el siguiente caso: Si K es un número real mayo

Ejemplos  Ahora vamos a ver un ejemplo en el que se de el siguiente caso: Si K es un número real positivo se verifica: +∞·K = +∞ y -∞·K = -∞ Si K es un número real negativo se verifica: +∞·K = -∞ y -∞·K = +∞ Dadas dos sucesiones aₙ = (1 - 2n²)/(3n +1) y bₙ = (3n² - 2)/(2n² + 1), tenemos que calcular el límite del producto de su producto. Calculamos primero los límites, cuando n tiende a infinito, de cada una de las sucesiones: lim aₙ = (1 - 2n²)/(3n + 1) = -∞ (grado del numerador mayor que el denominador, además hay que tener en cuenta el álgebra de límites ). lim bₙ = lim (3n² - 2)/(2n² + 1) = 3/2 (grado del numerador igual al grado del denominador). Calculamos el límite del producto de las dos sucesiones, cuando n tiende a infinito: lim (aₙ + bₙ) = lim (-6n⁴ + 7n² - 2)/(6n³+2n²+3n + 1) = -∞ (grado del numerador, mayor que el grado del denominador) En este ejemplo, vamos a tratar el siguiente caso: +

 Vamos a ir viendo con ejemplos los distintos casos que nos pueden aparecer a la hora de calcular límites, cuando el límite de la sucesión sea +∞ o -∞. Ejemplos En este ejemplo, vamos a tratar de los límites con la forma: -∞ + K = -∞ y +∞ + K = +∞, siendo K un número real  Dadas las sucesiones aₙ = (n²+1)/n y bₙ = (n - 2)/2n, tenemos que calcular el límite de la suma. Se verifica que, cuando n tiende a infinito: lim aₙ = lim (n² + 1)/n = +∞ (grado del numerador, mayor que el grado del denominador) lim bₙ = lim (n - 2)/2n = 1/2 (grado del numerador es igual al grado del denominador). Si hacemos la suma de ambas sucesiones, y calculamos su límite cuando n tiende a infinito: lim(aₙ + bₙ) = lim (2n²+n)/2n = +∞ (grado del numerador mayor que el grado del denominador) En este ejemplo, vamos a tratar el caso: +∞ + ∞ = +∞ y (-∞) + (-∞) = -∞ Dadas las sucesiones aₙ = (n² - 3)/(n+1), bₙ = n²/(2n - 1), tenemos que calcular el límite de la

 Si tenemos una sucesión aₙ que tiende al límite finito y positivo se verifica: lim (lg ⍺ aₙ) = lg ⍺ a n→∞ Esto es lo mismo que demostrar que desde un valor de n en adelante es: -𝝐 < lg 𝛼 aₙ - lg 𝛼 𝛼 < 𝝐 Si suponemos 𝛼 > 1 y 𝛼 𝝐 > 1 y 𝛼 -𝝐 < 1, como lim aₙ/a = 1 a partir de un determinado valor de n se verificará: 𝞪 -𝝐 < aₙ/a<𝞪 𝝐 De donde tomando logaritmos de base 𝞪 -𝝐 < lg 𝛂 aₙ- lg 𝞪 a < 𝝐 Ejemplo Calcular el límite de la sucesión lg(2ⁿ) Aplicando las propiedades de los logaritmos , sabemos que: lg(2ⁿ) = n lg2 Tomando límites, cuando n tiende a infinito: lim lg(2ⁿ) = lim (n·lg 2) = lg2·lim n = ∞

 Para calcular el límite cuando n tiende a infinito de (aₙ/bₙ) vamos a considerar varios casos: El grado del denominador sea mayor que el grado del numerador (el límite es cero). Grado del numerador sea mayor que el grado del denominador (el límite es ∞). Grado del numerador es igual al grado del denominador (el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado del numerador y denominador). Ejemplos Calcular el límite de la sucesión aₙ = (n² - n + 1)/(2n³+n²-2) Al ser el grado del denominador mayor que el del numerador, se tiene que el límite es cero, cuando n tiende a infinito, ya que si dividimos numerador y denominador por n³, vemos que llegamos a ese límite. Calcular el límite, cuando n tiende a infinito, de: aₙ = (n²-1)(n²+1)/(n³+n -1) Si efectuamos el producto que aparece en el numerador tenemos un polinomio de grado 4: aₙ = (n⁴-1)/(n³+n-1) Su límite, cuando n tiende a infinito, al ser el grado del numerad