Cálculo con límites infinitos (3)

 Seguimos con los el cálculo de límites. Ahora vamos a calcular el caso en el que:

si K es un número real se verifica que:

+K/∞ = 0 y -K/∞ = 0

Ejemplo

Dadas las sucesiones aₙ = 3n²/(n² + 2) y bₙ = (n²+3n-1)/(3n + 2), tenemos que calcular el límite del cociente cuando n tiende a infinito.

Calculamos los límites por separado, cuando n tiende a infinito:

  • lim aₙ = lim 3n²/(n²+2) = 3 (grado del numerador es igual al grado del denominador, el límite es igual al cociente de los coeficientes de mayor grado).
  • lim bₙ = lim (n²+3n -1)/(3n +2) = +∞ (grado del numerador mayor que el grado del denominador).
Por lo tanto, cuando n tiende a infinito:

  • lim aₙ/bₙ = lim [3n²/(n²+2)]/[(n²+3n-1)/(3n + 2)] = lim (9n³ + 6n²)/(n⁴+3n³+2n²+4n-3) = 0 (grado del denominador, mayor que el grado del numerador).
Ahora vamos a tratar el siguiente caso:

Si K es un número real mayor que 1, se verifica que:

K+∞ = +∞ y (K)-∞ = 0

Ejemplo

Calcular el límite de la sucesión [(3n²+1)/(2n²+2)]n+1, cuando n tiende a infinito.

Calculamos el límite de ambas sucesiones cuando n tiende a infinito:

  • lim base = 3/2 ( grado del numerador es igual al grado del denominador, el límite es el valor del cociente de los coeficientes de mayor grado)
  • lim exponente = +∞
Al ser 3/2 mayor que 1, tenemos que el límite cuando n tiende a infinito es:

  • lim [(3n²+1)/(2n²+2)]n+1 = (3/2)+∞ = +∞
NOTA: La forma de trabajar con este tipo de expresiones, para calcular su límite, es siempre la misma. Tratar a base y exponente por separado, calcular su límite cuando n tiende a infinito, y realizar la potenciación, comprobando a que caso pertenece. También se trabaja así en el siguiente caso:

Si K es un número real con la condición 0<K<1, se verifica que:

K+∞ = 0 y K-∞ = +∞

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