Límite de un logaritmo

 Si tenemos una sucesión aₙ que tiende al límite finito y positivo se verifica:

lim (lg⍺aₙ) = lg⍺a

n→∞

Esto es lo mismo que demostrar que desde un valor de n en adelante es:

-𝝐 < lg𝛼aₙ - lg𝛼𝛼 < 𝝐

Si suponemos 𝛼 > 1 y 𝛼𝝐 > 1 y 𝛼-𝝐 < 1, como

lim aₙ/a = 1

a partir de un determinado valor de n se verificará:

𝞪-𝝐 < aₙ/a<𝞪𝝐

De donde tomando logaritmos de base 𝞪

-𝝐 < lg𝛂aₙ- lg𝞪a < 𝝐

Ejemplo

Calcular el límite de la sucesión lg(2ⁿ)

Aplicando las propiedades de los logaritmos, sabemos que:

lg(2ⁿ) = n lg2

Tomando límites, cuando n tiende a infinito:

lim lg(2ⁿ) = lim (n·lg 2) = lg2·lim n = ∞

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