Límite del cociente de dos polinomios

 Para calcular el límite cuando n tiende a infinito de (aₙ/bₙ) vamos a considerar varios casos:

  1. El grado del denominador sea mayor que el grado del numerador (el límite es cero).
  2. Grado del numerador sea mayor que el grado del denominador (el límite es ∞).
  3. Grado del numerador es igual al grado del denominador (el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado del numerador y denominador).

Ejemplos

Calcular el límite de la sucesión

aₙ = (n² - n + 1)/(2n³+n²-2)

Al ser el grado del denominador mayor que el del numerador, se tiene que el límite es cero, cuando n tiende a infinito, ya que si dividimos numerador y denominador por n³, vemos que llegamos a ese límite.

Calcular el límite, cuando n tiende a infinito, de:

aₙ = (n²-1)(n²+1)/(n³+n -1)

Si efectuamos el producto que aparece en el numerador tenemos un polinomio de grado 4:

aₙ = (n⁴-1)/(n³+n-1)

Su límite, cuando n tiende a infinito, al ser el grado del numerador mayor que el grado del denominador, es ∞.

La forma de resolverlo es dividir tanto numerador y denominador por n⁴, como se explicó en esta entrada.

Calcular el límite de la sucesión, cuando n tiende a infinito de:

aₙ = (6n + 1)(3n²+2)/[(n-2)(2n²-1)]

Operamos primero los paréntesis.

aₙ = (18n³ + 12n + 3n² + 2)/(2n³-n-4n²+2)

Tenemos dos polinomios del mismo grado en denominador y numerador, por lo que el límite de la sucesión será 9 (cociente de los coeficientes principales, de mayor grado, de los polinomios).

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