Álgebra de límites (1)

 Límite de una suma (resta) de sucesiones

Sean {aₙ} y {bₙ} dos sucesiones tales que el límite cuando n tiende a infinito es:

lim aₙ = a, lim bₙ = b

Entonces:

lim (aₙ + bₙ) = a + b

n→∞

Ejemplo

lim (3n³/(n+1) - (5n³ - 1)/(n²+1))

n→∞

aₙ = 3n³/(n+1), bₙ = (5n³-1)/(n²+1)

Se tiene que cuando n tiende a infinito:

lim aₙ = ∞, lim bₙ = ∞

Estamos pues ante la indeterminación:

∞ - ∞

Esta indeterminación se resuelve operando:

lim (aₙ + bₙ) = (3n⁵ + 3n³ - 5n⁴ + n - 5n³+1)/[(n+1)(n²+1)] =

n→∞

lim (3n⁵-5n⁴+2n³ + n + 1)/[(n+1)(n²+1)] = +∞

n→∞

Este tipo de indeterminaciones se presenta con frecuencia cuando aparecen diferencias de raíces, diferencia de fracciones...

Límite de un producto (cociente) de sucesiones

Si cuando n tiende a infinito el lim aₙ = a, lim bₙ = b, entonces el límite de (aₙ·bₙ) = a·b, cuando n tiende a infinito.

Aquí se pueden presentar casos de indeterminación. En efecto, cuando n tiende a infinito, si lim aₙ = 0, lim bₙ = ∞, no podemos decir, utilizando este método, cual es el límite de la sucesión producto.

Como caso particular del producto (podríamos utilizar el concepto de inversa de una sucesión) pasamos a estudiar el cociente de sucesiones.

Si, cuando n tiende a infinito, lim aₙ = a y lim bₙ = b, entonces, cuando n tiende a infinito el lim(aₙ/bₙ) = a/b.

En este caso, pueden aparecer las siguientes indeterminaciones:

• aₙ→∞, b→∞ = ∞/∞
• aₙ→0, b→∞ = 0/∞
• aₙ→0, b→0 = 0/0

Ejemplos

Calcular el límite de la sucesión aₙ = (3n² + 2)/(n²+n)

Dividiendo el numerador y denominador de la sucesión aₙ por n² tenemos:

• (3n² + 2)/n² = 3 + 2/n²
• (n²+n)/n² = 1 + 1/n

Aplicando la propiedad del límite de cociente de dos sucesiones, cuando n tiende a infinito:

lim aₙ = (lim 3 + 2/n²)/(lim 1 + 1/n) = (3+0)/(1+0) = 3

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Calcular el límite de aₙ = (n³ + n - 1)/(2n²-1).

Dividiendo el numerador y denominador de aₙ por n³ tenemos:

• (n³ + n - 1)/n³ = 1 + 1/n² - 1/n³
• (2n²-1)/n³ = 2/n - 1/n³

Calculando el límite, cuando n tiende a infinito:

lim aₙ = lim ( 1 + 1/n² - 1/n³)/(2/n - 1/n³)

Aplicando la propiedad del límite del cociente, cuando n tiende a infinito:

(lim ( 1 + 1/n² - 1/n³))/(lim (2/n - 1/n³)) = (1 + 0 -0)/(0-0) = ∞

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Recuerda que:

• Si tenemos dos sucesiones cuyo límite es a ≠ 0 y bₙ con límite 0, siendo bₙ ≠ 0, entonces se verifica que el límite cuando n tiende a infinito de aₙ/bₙ = ∞.
• Dadas las sucesiones con límite finito a y la sucesión bₙ que diverge hacia +∞ o -∞, siendo bₙ≠0, entonces se verifica, que cuando n tiende a infinito que el limite de aₙ/bₙ = 0.